章末综合测评1 解三角形-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

章末综合测评(一)　解三角形 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　) A．0个　　　　 B．1个 C．2个 D．无数个 A　[由正弦定理得＝， 所以sin B＝＝>1，即sin B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．] 2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° B　[设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.] 3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝(　　) A．或 B． C． D． C　[由＝，得sin C＝. ∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.] 4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝(　　) A．± B． C．－ D． A　[因为＝，所以＝，解得sin B＝. 因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±.] 5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 [答案]　B 6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　) A． B．1＋ C． D．2 B　[∵S△ABC＝ac sin B，∴ac＝6. 又∵b2＝a2＋c2－2ac cos B ＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°＝4b2－12－6，∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.] 7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，0) C． D． D　[由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)， ∵即 ∴k>.] 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 B　[由已知可得＝－， 即cos A＝，b＝c cos A. 法一：由余弦定理得cos A＝，则b＝c·， 所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B＝sin C cos A. 在△ABC中，sin B＝sin (A＋C)， 从而有sin A cos C＋cos A sin C ＝sin C cos A， 即sin A cos C＝0.在△ABC中，sin A≠0，所以cos C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．] 9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　) A．2 B．8 C． D． C　[∵＝＝＝2R＝8， ∴sin C＝，∴S△ABC＝ab sin C＝＝＝.] 10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(　　) A． B． C． D． B　[∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2， ∵sin α＝，∴α＝120°. 由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3，5，7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.] 11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为(　　) A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 B　[在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．] 12．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为(　　) A． B． C． D． D　[设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a. 在△ABD中，由余弦定理，得 cos A