课时分层作业12 等差数列前n项和的综合应用-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(十二)　等差数列前n项和的综合应用 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2　　 　B．－1　 　　C．0　　 　D．1 B　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.] 2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．①③ D．①④ B　[∵S6>S7，∴a7<0， ∵S7>S5，∴a6＋a7>0， ∴a6>0，∴d<0，①正确； 又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确； S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确； {Sn}中最大项为S6，④不正确． 故正确的是①②.] 3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于(　　) A．15 B．35 C．66 D．100 C　[易得an＝ |a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 令an>0则2n－5>0，∴n≥3. ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10| ＝1＋1＋a3＋…＋a10 ＝2＋(S10－S2) ＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.] 4．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 C　[a1＋a3＋a5＝105＝3a3，∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝99＝3a4， ∴a4＝33， ∴d＝＝－2， ∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n， 令an>0，∴41－2n>0， ∴n<，∴n≤20.] 5.＋＋＋＋…＋等于(　　) A． B． C． D． C　[通项an＝＝(－)，∴原式＝ [(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)] ＝ ＝.] 二、填空题 6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝ ． 5　[∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.] 7．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是 ． 6或7　[由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小．] 8．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝ 时，Sn取到最大值． 5或6　[∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0， ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0. 故当n＝5或6时，Sn最大．] 三、解答题 9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ [解]　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)法一：a1＝9，d＝－2， Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n ＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列． 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤. ∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. [解]　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2； 当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn ＝2×－(15n－2n2) ＝2n2－15n＋56. ∴Tn＝ 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　) A．12　　　B．14　　　C．16　　　D．18 B　[Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40， 所以4(a1