课时分层作业8 数列的通项与递推公式-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(八)　数列的通项与递推公式 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 B　[由题可知an－an－1＝n(n≥2).] 2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　) A.1　　　 B． C. D． C　[a1＝1，a2＝a1＋＝1， a3＝a2＋＝.] 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　) A.an＝n B．an＝n＋1 C.an＝2n D．an＝2n－1 D　[由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.] 4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　) A.103 B．108 C.103 D．108 D　[根据题意结合二次函数的性质可得， an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－2＋3＋. 所以n＝7时，an＝108为最大值．] 5．已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，设Sn＝x1＋x2＋…＋xn，则下列结论正确的是(　　) A.x100＝－a，S100＝2b－a B.x100＝－b，S100＝2b－a C.x100＝－b，S100＝b－a D.x100＝－a，S100＝b－a A　[x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2， ∴{xn}是周期数列，周期为6， ∴x100＝x4＝－a， ∵x1＋x2＋…＋x6＝0， ∴S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.] 二、填空题 6．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 018等于 ． －　[∵x1＝1，∴x2＝－，∴x3＝1，∴数列{xn}的周期为2，∴x2 018＝x2＝－.] 7．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是 ． 255　[因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3， a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.] 8．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝ ． 　[由an＋1＝，得an＝1－， ∵a8＝2，∴a7＝1－＝， a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…， ∴{an}是以3为周期的数列， ∴a1＝a7＝.] 三、解答题 9．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式． [解]　∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－， ∵f(an)＝－2n，∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0. ∴an＝－n±. ∵an>0，∴an＝－n. 10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项． [解]　假设第n项an为最大项，则 即 解得即4≤n≤5， 所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝. 1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)，则当an取得最大值时，n等于(　　) A.5 B．6 C.6或7 D．5或6 D　[由题意知 所以 解得所以n＝5或6.] 2．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2 014＋a2 015等于(　　) A.4　　　　B． C．　　　　 D． B　[a2＝f＝－1＝； a3＝f＝－1＝； a4＝f＝＋＝； a5＝f＝2×－1＝； a6＝f＝2×－1＝； … ∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列， ∴a2 014＋a2 015＝a4＋a5＝.故选B.] 3．数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，则a2等于 ． 9　[由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)， 得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an， 两式相减，得 nan＋1－(n－1)an＝an. ∴n≥3时，nan＋1＝nan，即 an＋1＝an. 又a9＝8，∴a3＝8. 又2a3＝a1＋a2，a1＝7，∴a2＝2a3－a1＝9.] 4．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该