课时分层作业5 角度问题-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(五)　角度问题 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为(　　) A．15°　　 　B．30°　 　　C．45°　 　　D．60° B　[如图所示， sin ∠CAB＝＝， ∴∠CAB＝30°.] 2．如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于(　　) A． B． C． D． A　[由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且α＋∠ACB＝π. 由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos ∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos (π－α)，解得cos α＝. 所以sin α＝，所以tan α＝＝.] 3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　) A．28海里/小时 B．14海里/小时 C．14海里/小时 D．20海里/小时 B　[ 如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20 海里， AB＝12海里，∠BAC＝120°， ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120° ＝784， ∴BC＝28海里， ∴v＝14海里/小时．] 4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° B　[∵AD2＝602＋202＝4 000， AC2＝602＋302＝4 500， 在△ACD中，由余弦定理得 cos ∠CAD＝＝，∠CAD∈(0°，180°)， ∴∠CAD＝45°.] 5．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为(　　) A．14米 B．15米 C．16米 D．17米 C　[ 如图，设DN＝x m， 则142＝102＋x2－2×10×x cos 60°， ∴x2－10x－96＝0， ∴(x－16)(x＋6)＝0， ∴x＝16或x＝－6(舍)， ∴N与D之间的距离为16米．] 二、填空题 6．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为 ． 或2　[x2＋9－2·x·3cos 30°＝()2，解得x＝2或x＝.] 7．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 km. 30　[ 如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°， ∠AMB＝45°， 在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km).] 8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点 dm的C处截住足球． 7　[设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2AB·AC·cos A， 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝. ∴AC＝17－2x＝7(dm)， 或AC＝－(dm)(舍去). ∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．] 三、解答题 9．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇(如图所示).若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． [解]