课时分层作业3 余弦定理-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(三)　余弦定理 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　) A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150° B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝，∴A＝60°.] 2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大， 所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.] 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 C　[由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．] 4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　) A． B．8－4 C．1 D． A　[由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C＝2ab cos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.] 5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　) A．1<a<3 B．1<a<5 C．<a< D．不确定 C　[若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故<a<.] 二、填空题 6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝ ． 0　[∵b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 120°＝a2＋c2＋ac， ∴a2＋c2＋ac－b2＝0.] 7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝ ． 1　[∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去).∴a＝1.] 8．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是 ． 　[由正弦定理知：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k， ∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk， ∴a∶b∶c＝5∶7∶8， ∴cos B＝＝，∴B＝.] 三、解答题 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B． (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [解]　(1)由正弦定理得＝＝2R，R为△ABC外接圆半径． 又b sin A＝a cos B， 所以2R sin B sin A＝·2R sin A cos B. 又sin A≠0， 所以sin B＝cos B，所以tan B＝. 又因为0<B<π，所以B＝. (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得9＝a2＋c2－ac， ∴a2＋4a2－2a2＝9， 解得a＝，故c＝2. 10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1. (1)求角C的度数； (2)求AB的长． [解]　(1)∵cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)， ∴C＝. (2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴ ∴AB2＝b2＋a2－2ab cos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝. 1．在△ABC中，有下列关系式： ①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C．一定成立的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin C sin A＋sin A sin C＝2sin A sin C，又sin B＝sin (A＋C)＝cos Csin A＋cos C sin