余弦定理及应用导学案-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修5第一章

必修五 第一章《解三角形》导学讲义系列 §2－2《余弦定理及其应用》 【学习目标】 1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系. 2.能用向量方法发现和证明余弦定理. 3.掌握余弦定理及其推论. 4.知道余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 5.会用余弦定理及推论解三角形. 6.提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 【学习重难点】 1．能记住余弦定理，并且会推导余弦定理，会利用余弦定理的各种变形解决简单的问题； 2． 能够利用余弦定理解三角形，会利用余弦定理及其变形判断三角形的形状； 3．能够利用余弦定理解决三角形中的一些范围问题. 【学习过程导学案】 思考：三角形三边之间除了有不等关系还有什么关系呢？ 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，那么斜三角形三边之间的关系是什么呢？推广到任意三角形三边之间的关系是什么呢？ 【建构新知识体系】 新知识点 余弦定理 (1)三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍，这个结论叫作三角形的余弦定理． 即a2＝_______________，b2＝___　_____________，c2＝_______________. (2) 余弦定理的其他形式： 向量结构式： 完全平方结构式： 内角函数结构式：cos A＝_______________，cos B＝_______________，[ 源 cos C＝________________.[来源:学_ 内半角结构式： 【常见题型,典例精讲精析】 题型一 、对余弦定理公式的理解及简单应用 【罗师导航】 【例1-1】中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．求边的值． 【例1-2】在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，求c. 【例1-3】在△ABC中，b-c=5,,且. （1）求a;（2）计算. 【能力达标检测】 【1-1】在△ABC中，已知a2－c2＋b2＝ab，则C＝(　　)． A．60° B．45°或135° C．120° D．30° 【1-2】若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比为(　　)． A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D．∶∶2 【1-3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)[来.Com] A． B． C． D． 【1-4】在△ABC中，已知AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·等于(　　)． A．19 B．－14 C．－18 D．－19 【1-5】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则△ABC的最大角是(　　)． A．30° B．60° C．90° D．120° 【1-6】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝4，b＋c＝5，C＝，则△ABC的面积为__________． 题型二 、已知两边及其夹角，解三角形 【罗师导航】 【例2-1】在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝30°，解此三角形． 【能力达标检测】 【2-1】在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则a＝(　　)． A．2 B．4 C．7 D．9 【2-2】在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则c的值等于(　　)． A．2 B．2 C． D． 【2-3】在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝120°，求△ABC的周长. 【2-4】在中，，，，分别为角，，的对边，若，，，求的周长． 题型三 、已知三边，解三角形 【罗师导航】 【例3-1】（2021·全国·高一）在中. （1）已知，，，求；（2）已知，，，求； 【例3-2】在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状． 【能力达标检测】 【3-1】（2021·全国·高三专题练习（文））中，角所对的边分别为，若，则=（ ） A． B． C． D． 【3-2】在三角形中，，则大小为（ ） A． B． C． D． 题型四 、已知两边及一角，解三角形 【罗师导航】 【例4-1】在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形． 【能力达标检测】 【4-1】在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)． A． 　　 B．　　 C．　　 D．　 【4-2】在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解此三角形． 题型五 、利用余弦定理判断三角形形状 【罗师导航】 【例5-1】在中，已知，试判断的形状. 【例5-2】在△ABC