2.3.1 平面向量基本定理-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

2.3　平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1　平面向量基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点) 2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点) 3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点) 1.通过作图教学引导学生自主得出平面向量基本定理，培养学生的直观想象素养. 2.通过向量夹角和基底的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理素养. 1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？ [提示]　不能，0不能作为基向量． 2.两向量夹角的概念 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，叫做向量a与b的夹角． (1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°. (2)当θ＝0°时，a与b同向． (3)当θ＝180°时，a与b反向． 3．垂直 如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1　　　　 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 D　[A、B、C中两个向量都满足a＝λb，故选D.] 2．给出下列三种说法： ①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 其中，说法正确的为(　　) A．①②　　　　 B．②③ C．①③　　　　　　　 D．①②③ B　[根据基底的概念，可知②③正确．] 3．若△ABC是等边三角形，则与的夹角的大小为________． 120°　[由向量夹角的定义知与的夹角与∠B互补，大小为120°.] 4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________． 4e1＋3e2　[由图可知，＝4e1＋3e2.] 用基底表示向量 【例1】　(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论： ①＝－a－b；②＝a＋b； ③＝－a＋b；④＝a. 其中正确结论的序号为________． (2)如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. 思路点拨：用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则． (1)①②③　[如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确； ＝＋＝a＋b，②正确； ＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a) ＝b－a，③正确； ④＝＝－a，④不正确．] (2)＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋ ＝－＋＋＝b－a. 1．若本例(2)中条件不变，试用a，b表示. [解]　由平面几何的知识可知＝， 故＝＋＝＋ ＝a＋ ＝a＋b－a ＝a＋b. 2．若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. [解]　＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a. ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型： 向量的夹角 【例2】　(1)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于________． (2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 思路点拨：可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决． (1)120°　[作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(如图所示)， 则a，b夹角为180°－∠C. ∵|a|＝1，|b|＝2，c⊥a， ∴∠C＝60°， ∴a，b的夹角为120°.] (2)[解]　由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线． 如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴∠BOA＝60°. 又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA， ∴a与a＋b的夹角是30°. 两向量夹角的实质与求解方法： 1两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决. 2求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误. 如图，