2.2.2 向量减法运算及其几何意义-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

2.2.2　向量减法运算及其几何意义 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点) 2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点) 1.类比数的运算给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象素养. 2.通过加法进行向量的减法的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理能力. 1．相反向量 (1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量． 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示． 3．|a|、|a±b|与|b|三者之间的关系 ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|； ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|? [提示]　当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立． 1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　) A．m＝n　　　　　 B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 A　[由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.] 2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　) A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝ C　[如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，－＝－－(＋)＝－2≠，故选C.] 3．化简－＋＋的结果等于(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. B　[原式＝(＋)＋(＋)＝＋0=.] 4．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________. a＋b　b－a　[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.] 向量减法的几何意义 【例1】　(1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c (2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将向，，转化； (2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值． (1)A　[＝－＝(＋)－＝a＋c－b.] (2)[解]　法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c. 图①　　　　　　图② 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． [跟进训练] 1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. [解]　法一：先作a－b，再作a－b－c即可． 如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c. 图①　　　　　　　　图② 法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②. (1)作＝－b和＝－c； (2)作＝a，则＝a－b－c. 向量减法的运算及简单应用 【例2】　(1)如图所示， ①用a，b表示； ②用b，c表示. (2)化简下列各向量的表达式： ①＋－； ②(－)－(－)； ③(＋＋)－(－－)． 思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同． [解]　(1)∵＝a，＝b，＝c. ①＝－＝－－＝－a－b. ②＝－＝－(＋)＝－b－c. (2)①＋－＝－＝. ②(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0. ③(＋＋)－(－－) ＝(＋)－(－)＝－＝0. [一题多解] (2)②法一：(加法法则) 原式＝－－＋ ＝(＋)－(＋) ＝－＝0； 法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝－－＋ ＝(－)＋(－) ＝＋＝0； 法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝－－＋ ＝(－)－(－)－(－)＋(－) ＝－－＋－＋＋－＝0. 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 3．与图形相关的向量