1.3 第2课时 公式五和公式六-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

第2课时　公式五和公式六 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解角－α与角α的对称性，能借助单位圆，利用定义推导出公式五、公式六. 2.能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点) 3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点) 1.通过对公式五、公式六的推导，提升学生的素养. 2.通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算直观抽象和逻辑推理素养. 1．公式五 (1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示． (2)公式：sin＝cos α， cos＝sin α. 2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－. (2)公式：sin＝cos α， cos＝－sin α. 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？ [提示]　sin＝sin ＝sin＝cos α， cos＝cos＝－cos ＝－sin α. 注意：公式六的坐标法推导方法 设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，而角－α的终边与单位圆交于点P′，则P′(y，x)，因为－α与＋α关于y轴对称，所以＋α的终边与单位圆交于点(－y，x)． 所以sin＝x＝cos α， cos＝－y＝－sin α. 1．化简：sin＝(　　) A．sin x　　　　 B．cos x C．－sin x D．－cos x B　[sin＝sin＝cos x．] 2．若α∈，则＝(　　) A．sin α B．－sin α C．cos α D．－cos α B　[∵sin＝－cos α， 又∵α∈，∴＝＝|sin α|＝－sin α.] 3．计算：sin211°＋sin279°＝ . 1　[因为11°＋79°＝90°， 所以sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.] 4．化简sin＝ . －cos α　[sin ＝sin ＝－sin＝－cos α.] 利用诱导公式化简求值 [探究问题] 1．公式一～四与公式五～六的主要区别是什么？ 提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变，在应用诱导公式中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”．即针对统一的诱导公式形式“k·90°±α(k∈Z)”或“k·±α(k∈Z)”中的k而言． 2．解决给值求值问题的策略是什么？ 提示：(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A. 　B.　 C．－　 D．－ (2)已知sin＝，则cos的值为 ． 思路点拨：(1) (2) (1)B　(2)　[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31° ＝＝. (2)cos＝cos ＝sin＝.] 1．将例1(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos的值． [解]　cos＝cos ＝－sin＝－. 2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值． [解]　因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sin＝，所以－α是第二象限角， 所以cos＝－， 所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝. 诱导公式应用中解决给值求值的一般步骤 1定关系：确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：与；与；与等.常见的互补关系有：与；＋α与等. 2定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式. 3得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到答案. 利用诱导公式证明恒等式 【例2】　(1)求证： ＝. (2)求证： ＝－tan θ. [证明]　(1)右边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝左边， 所以原等式成立． (2)左边＝ ＝＝－tan θ＝右边， 所以原等式成立． 三角恒等式的证明策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法. 1．求证：＝－1. [证明]　因为 ＝ ＝＝＝－1 ＝右边，所以原等式成立. 诱导公式的综合应用 【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值． 思路点拨：→ → → [解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝