1.2.1 第2课时 三角函数线及其应用-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

第2课时　三角函数线及其应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点) 通过三角函数线的学习，培养学生数学抽象，直观想象和数学建模素养. 1．有向线段 (1)定义：带有方向的线段． (2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP. 2．三角函数线 (1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M. ②过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T. (2)图示： (3)结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线． 思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？ 提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在． 1．角和角有相同的(　　) A．正弦线　　　　 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 C　[角和角的终边互为反向延长线，所以正切线相同．] 2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线OM，正切线A′T′ B．正弦线OM，正切线A′T′ C．正弦线MP，正切线AT D．正弦线MP，正切线A′T′ C　[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．] 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 1　[若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0,1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.] 作已知角的三角函数线 【例1】　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)－；(2)；(3). [解]　如图． 其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线． 三角函数线的画法 1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线. 2作正切线时，应从A1，0点引x轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T，即可得到正切线AT. 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线． [解]　如图： sin＝MP， cos＝OM， tan＝AT. 利用三角函数线比较大小 【例2】　(1)已知cos α＞cos β，那么下列结论成立的是(　　) A．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β (2)利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小． 思路点拨：(1) (2) (1)D　[由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，故A错误； 图(1) 由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误； 图(2) 由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误； 图(3) 由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确． ] 图(4) (2)解：如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′. 显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正， ∴sin＞sin； |OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos＞cos； |AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan＜tan. 1利用三角函数线比较大小的步骤： ①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负. 2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点： ①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线., ②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向. 2．已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c D　[由如图的三角函数线知： MP＜AT，因为＞＝， 所以MP＞OM， 所以cos＜sin＜tan， 所以b＜a＜c.] 3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，上述长度关系又如何？ [解]　如图所示，当＜α＜时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当＜α＜时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′. 利用三角函数线解三角不等式 [探究问题] 1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)的不等式？ 提示：对形如si