1.2.1 第1课时 任意角的三角函数的定义-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

1.2　任意角的三角函数 1.2.1　任意角的三角函数 第1课时　任意角的三角函数的定义 学 习 目 标 核 心 素 养 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点) 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点) 3.掌握公式一并会应用. 1.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养学生数学抽象和数学建模素养. 2.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升学生直观想象和数学运算素养. 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α 3.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 4．诱导公式一 思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？ 提示：一定相等． 1．若角α的终边经过点P(2,3)，则有(　　) A．sin α＝　　　　　 B．cos α＝ C．sin α＝ D．tan α＝ C　[这里x＝2，y＝3，则r＝＝， ∴sin α＝，cos α＝，tan α＝，故选C.] 2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sinπ＝________. 　[sinπ＝sin＝sin＝.] 4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________． 　[cos α＝x＝，sin α＝y＝， 故cos α＋sin α＝.] 三角函数的定义及应用 [探究问题] 1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？ 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变． 【例1】　(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x＞0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ的值为________； (2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 思路点拨：(1) → (2)→ (1)，3　[由三角函数定义知， cos θ＝＝＝x. ∵x＞0，∴x＝1，∴r＝. ∴sin θ＝，tan θ＝＝3.] (2)[解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－； 在第四象限取直线上的点(1，－)， 则r＝＝2， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 1．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？ [解]　∵x＜0，由＝x得x＝－1. ∴sin θ＝，tan θ＝－3. 2．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？ [解]　因为r＝，cos θ＝， 所以x＝， 又x≠0，所以x＝±1，所以r＝. 当x＝1时，sin θ＝，tan θ＝3， 当x＝－1时，sin θ＝，tan θ＝－3. 3．将本例(1)中“P(x,3)”改为“P(x,3x)”，且把“cos θ＝”去掉，结果又怎样？ [解]　∵x≠0，∴r＝＝|x|. 当x＞0时，P在第一象限，θ为第一象限角， 这时r＝x， 则sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝3. 当x＜0时，P在第三象限，θ为第三象限角，这时r＝－x. 则sin θ＝－，cos θ＝－，tan θ＝3. 4．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”，其他条件不变，结果又如何？ [解]　当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)， 由r＝|OQ|＝＝， 得：sin α＝＝－，cos α＝＝－， tan α＝＝2. 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1