1.1.1 任意角-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

1.1　任意角和弧度制 1.1.1　任意角 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解任意角的概念． 2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点) 3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易错点) 1.通过对任意角的学习，提升学生数学抽象素养． 2．借助角范围的形成与深入，提升学生数学运算和直观抽象素养. 1．角的概念 角可以看成平面内一个射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的表示 如图， (1)始边：射线的起始位置OA， (2)终边：射线的终止位置OB， (3)顶点：射线的端点O. 图中的角α可表示为“角α”或“∠α”或“α”． 3．任意角的分类 (1)按旋转方向分 (2)按角的终边位置分 ①前提：把角放在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． ②分类： 4．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 1．下列说法中正确的是(　　) A．第二象限角大于第一象限角 B．第二象限角是钝角 C．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同 D．以上说法皆错 C　[A错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°. B错误．如第二象限角－181°不是钝角． C正确．] 2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________． －670°　[由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.] 3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角． 240°　三　[因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角．] 任意角和象限角的概念 【例1】　(1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°，②855°，③－510°. (1)①　[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确； ②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误； ③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误； ④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．] (2)[解]　作出各角的终边，如图所示： 由图可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角． 1．判断角的概念问题的关键与技巧． (1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等； (2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小． 2．象限角的判定方法． (1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　) A．A＝B＝C　　　　　　 B．A⊆C C．A∩C＝B D．B∪C⊆C D　[由已知得BC，所以B∪C⊆C，故D正确．] 2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　[－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°， 360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．] 终边相同的角的表示及应用 【例2】　(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________． (2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来． 思路点拨：利用终边相同的角的集合与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (1)(－3)×360°＋195°　[－885°＝－1 080°＋195°＝ (－3)×360°＋195°.] (2)[解]　与α＝－910°终边相同的角的集合为 {β|β＝k·