3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式．(重点) 2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化简、求值和证明．(重点) 3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应用．(难点、易混点) 1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模和逻辑推理素养. 2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证明，提升学生的数学运算和逻辑推理素养. 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin αcos α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 2.余弦的二倍角公式的变形 3．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝. (2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 思考：用tan α能表示sin 2α和cos 2α吗？ [提示]　可以．sin 2α＝2sin αcos α＝. cos 2α＝cos2α－sin2α＝. 1.＝(　　) A．－　　　　 B．－ C. D. D　[原式＝cos2－sin2＝cos＝.] 2．sin 15°cos 15°＝ . 　[sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.] 3.－cos2＝ . －　[－cos2＝＝－cos＝－.] 4．若tan θ＝2则tan 2θ＝ . －　[tan 2θ＝＝＝－.] 给角求值 【例1】　(1)cos4－sin4等于(　　) A．－　　　　　 B．－ C. D. (2)求下列各式的值． ①1－2sin2750°； ②； ③coscos. (1)D　[原式＝＝cos2－sin2＝cos＝.] (2)[解]　①原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos ＝cos 60°＝. ②原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－. ③原式＝ ＝＝ ＝＝. 对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)＋. [解]　(1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝4. 给值求值、求角问题 [探究问题] 1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？ 提示：主要变形有： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝. 2．如何在倍角公式中用2α±＝2(α±)解题？ 提示：(1)sin 2α＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2； (2)cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos； (3)cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos. 【例2】　(1)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α. (2)已知sin＝，0＜x＜，求的值． 思路点拨：(1)－2α＝，用诱导公式联系求解． (2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解． [解]　(1)∵sin 2α＝－cos ＝－ ＝1－2cos2， sin＝－sin ＝－cos ＝－cos， ∴原式可化为1－2cos2 ＝－cos， 解得cos＝1或cos＝－. ∵α∈， ∴α＋∈， 故α＋＝0或α＋＝， 即α＝－或α＝. (2)∵0＜x＜，sin＝， ∴－x∈，cos＝， ＝ ＝(cos x＋sin x)＝2cos ＝. 1．若本例(2)中的条件不变，则的值是什么？ [解]　sin＝cos x－sin x＝， 平方得sin 2x＝， sin＝cos ＝cos＝， 所以＝×＝. 2．若本例(2)中的条件变为tan＝，其他条件不变，结果如何？ [解]　因为tan＝， 所以sin＝cos， 又sin2＋cos2＝1， 故可解得cos＝， 原式＝2cos＝. 解决条件求值问题的方法 1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 2当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通. 化简、证明问题 【例3】　(1)化简：＋＝ . (2)证明：＝－4. 思路点拨：(1)通分变形． (2)→→ (1)