3.1.2 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第1课时　两角和与差的正弦、余弦公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式和两角差与和的正弦公式．(重点) 2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点) 3.熟练两角和与差的正弦、余弦公式地灵活运用，了解公式的正用、逆用和变用等常用方法．(难点、易混点) 1.借助用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，培养学生的逻辑推理素养. 2.通过用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析素养. 1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 2.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 思考：sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立吗？你能举出一例吗？ [提示]　不一定成立，如sin≠sin＋sin. 3．两角和余弦公式的推导 由α＋β＝α－(－β)， ∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)] ＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β) ＝cos α cosβ－sin αsin β. 1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　B.　　　C．－　　　D. D　[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.] 2．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为(　　) A．0　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D．cos 54° B　[原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝.] 3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝ . －　[∵cos α＝－，α是第三象限的角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝sin α－cos α＝×－×＝－.] 4.cos 15°＋sin 15°＝ . 　[原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin 45°＝.] 给角求值问题 【例1】　(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D. (2)若θ是第二象限角且sin θ＝，则cos(θ＋60°)＝ . (3)求值：(tan 10°－). (1)D　(2)－　[(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°， sin 40°＝cos 50°， ∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝. (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝， ∴cos θ＝－＝－， ∴cos(θ＋60°)＝cos θ－sin θ ＝×－× ＝－.] (3)[解]　原式＝(tan 10°－tan 60°) ＝ ＝· ＝－2. 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求． 1．化简求值： (1)； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． [解]　(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. (2)设α＝θ＋15°， 则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α ＝＋－cos α＝0. 给值求值问题 【例2】　(1)已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值； (2)求值：sin＋cos； (3)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值． 思路点拨：(1)采用直接法： → (2)采用常值代换