2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

2.5　平面向量应用举例 2.5.1　平面几何中的向量方法 2.5.2　向量在物理中的应用举例 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点) 2.体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点) 3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点) 1.通过用向量方法解决几何问题，提升学生的数学运算和直观想象素养. 2.通过用向量方法解决物理问题，提升学生的数学抽象、数学建模素养. 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． 1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　) A．菱形　　B．梯形　　C．矩形　　D．平行四边形 D　[由条件知＋＝＋，则－＝－，即＝，∴四边形ABCD为平行四边形．] 2．已知△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形　　　　　 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 A　[由条件知∠BAC为钝角，所以△ABC为钝角三角形．] 3．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J. 300　[W＝F·s＝6×100×cos 60°＝300(J)．] 4．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)的合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________． (－5,1)　[由F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)， ∵F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，∴F1＋F2＝(5，－1)，即F3＝(－5,1)．] 向量在平面几何中的应用 [探究问题] 1．用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD? 提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD. 法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD. 2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD? 提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD. 法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD. 以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有∥得到AB∥CD. 【例1】　(1)已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 (2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积． 思路点拨：(1)先由平行四边形法则分析＋的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由·＝求∠BAC，最后判断△ABC的形状． (2)先建系设点P坐标，再根据A，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边形APCD的面积． (1)C　[由·＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设，的夹角为θ， 而·＝cos θ＝， 又θ∈[0，π]，所以∠BAC＝π－＝π，故△ABC为等腰三角形．] (2)[解]　以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，如图所示， ∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)， F(6,4)，E(3,0)， 设P(x，y)，＝(x，y)， ＝(6,4)，＝(x－3，y)，＝(3,6)． 由点A，P，F和点C，P，E分别共线， 得∴ ∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB ＝36－×3×3－×3×6＝. 1．将本例(1)的条件改为(－)·(＋－2)＝0，试判断△ABC的形状． [解]　∵(－)·(＋－2)＝0， ∴(－)·(－＋－)＝0， ∴·(＋)＝0， ∴(－)·(＋)＝0， ∴2－2＝0，即||2－||2＝0， 所以||＝||， ∴△ABC是等腰三角形． 2．将本例(2)的条件“BF∶FC＝2∶1”改为“BF∶FC＝1∶1”，求证：AF⊥DE. [证明]　建立如图所