专题17 参变分离法解决导数问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题17 参变分离法解决导数问题 1.分离变量法 在处理含参的函数不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程，转化为这样就将把研究含参函数与轴的位置关系的问题转化为不含参的函数与动直线的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。 （1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算； （2）解题过程中可能遇到的问题： ①参数无法分离；②参数分离后的函数过于复杂； ③讨论位置关系时可能用到的函数极限，造成说理困难. 2.分类： 分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种 注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！ 一、单选题 1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 显然在区间的最小值为，所以．故选：B． 2．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】因为函数在上是增函数， 所以在上恒成立，即，即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立，所以，故选：B 3．已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】若在上恒成立，则在上恒成立等价于 在上恒成立，令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，故，故.故选：B. 4．关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围（       ） A． B． C． D． 【解析】当时，可得显然不成立； 当时，由于方程可转化为， 令，可得， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取唯一的极大值，也是最大值， 所以，所以，即，所以实数m的取值范围.故选：A. 5．若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，没有零点， 或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）， 即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同. 令，，则， 令则在上单调递减且， 所以当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故当时，取得最大值，又时，，时，， 结合图象可知，即.故选：C. 6．若对任意正实数x，不等式恒成立，则实数a的范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】因为不等式恒成立，，所以恒成立， 设，则， 因为，令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故选：A 7．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得在上能成立，所以在上能成立， 令，则， 令，则，所以在上单调递减，且，即，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选：B. 8．当时，恒成立，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由，设，则， 当时，，当时，， 所以函数在区间上递增，在区间上递减，故，故.故选：A. 9．对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（       ） A． B． C． D．e 【解析】∵，∴． 令，则不等式化为． ∵为增函数，∴，即． 令，则，当时，，即递减； 当时，，即递增；所以．∴实数a的最大值为e．故选：D 10．已知函数，若当时，有解，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】有解，即，设，则， 不等式转化成在时有解，则有解，记， 则，再令， 则，那么在时递增，所以，于是，在时递增，故，记，，于是有解，只需要.故选：C 二、多选题 11．已知函数有两个零点，，且，则下列选项正确的是（       ） A． B．在上单调递增 C． D．若，则 【解析】令得，记 ，令得 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 且时，，，时， 据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，， 所以，故A选项正确； 因为，所以当时，，递增， 因为，所以，故B选项正确； 当时，，， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以C选项错误； 因为在递增，在递减，且 所以，，因为，所以 因为，所以 所以，故D选项正确 故选：ABD. 12．已知函数在区间上只有一个零点，则实数可取的值有（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，在区间上只有一个根， 等价于在区间上只有一个根， 等价于与的图像有唯一一个公共点， 由得，令 得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， ∴在区间内，当时取极小值也是最小值，∴当， 又，，且， 则满足条件的的取值范围是， 所以可取的值为、.故选:CD. 13．设函数(e为自然对数的底数).若存在使成立，则实数a的取值可以是（