2.3.2 抛物线的简单几何性质-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（北师大版）

§3　抛物线 3．2　抛物线的简单几何性质 第二章　圆锥曲线 课程标准：1.了解抛物线的简单几何性质.2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：根据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质． 教学难点：抛物线几何性质的应用． 核心素养：通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE y≥0 y≤0 x轴 y轴 O(0，0) e＝1 1．抛物线是圆锥曲线中最为特殊的一种曲线(e＝1)，由于抛物线上任一点到其焦点与到其准线的距离都是相等的，所以应充分利用图形及抛物线的定义进行相互转化，有利于灵活解题． 2．椭圆、双曲线、抛物线在几何性质上的联系与区别 (1)联系：三种曲线都有范围、对称性、顶点和离心率四个基本的几何性质． (2)区别：抛物线与椭圆、双曲线相比，主要区别于抛物线的离心率等于1且只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有中心．就标准方程而言，椭圆、双曲线有两个参数，而抛物线只有一个参数． 另外需注意，抛物线不是双曲线的一支，抛物线无渐近线． 抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的、有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的，事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越大，而抛物线的开口越来越趋于扁平． 3．利用抛物线的定义可以得知，抛物线的焦点弦(过焦点的弦)有许多特殊性质：如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ，相应的准线为l，N为准线l与x轴的交点． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线没有渐近线．(　　) (2)抛物线有对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的开口大小由抛物线的离心率决定．(　　) (4)抛物线x2＝y与抛物线y2＝x的离心率相同．(　　) √ √ × √ y＝－2 y2＝12x或y2＝－12x 2 核心素养形成 PART TWO 题型一　由抛物线的几何性质求标准方程 解 求抛物线的标准方程要明确四个步骤 (1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口方向)； (2)设方程(根据对称轴和开口方向设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于p的方程)； (4)得出抛物线的标准方程． 解 解 题型二　抛物线的简单几何性质 例2　如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴． (1)求以O为顶点且过点A，B的抛物线方程； (2)求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e. 解 解 求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解． [跟踪训练2]　如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． 解 题型三　抛物线的实际应用题 例3　“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称． 如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知|AB|＝44 m，∠A＝45°，|AC1|＝4 m，|C1C2|＝5 m，立柱C2D2的长为5.55 m. (1)求立柱C1D1及横梁D1D8的长； (2)求抛物线D1OD8的方程和桥梁的拱高|OH|. 解 解 解 求解抛物线实际应用题的五个步骤 (1)建系：建立适当的坐标系； (2)假设：设出合适的抛物线的标准方程； (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程； (4)求解：求出所要求出的量； (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题． [跟踪训练3]　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？ 解　如图所示，建立直角坐标系，设B点坐标为(0,0)，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 解 因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)， 因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y. 因为点A(－4，y0)在抛物线上， 所以16＝－5y0，即y0＝－3.2， 所以OA的长为5－3.2＝1.8 m. 所以管柱OA的长为1.8 m. 解 3 随堂水平达标 PART THREE 1．顶点在原点，对称轴是