1.1.5 两条直线的交点坐标-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（北师大版）

§1　直线与直线的方程 1．5　两条直线的交点坐标 第一章　直线与圆 (教师独具内容) 课程标准：能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标． 教学难点：两直线相交与二元一次方程组的关系． 核心素养：通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养. 1 核心概念掌握 PART ONE Ax＋By＋C＝0 Aa＋Bb＋C＝0 无解 无数个 相交 平行 2．判断两直线关系的方法 (1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题． (2)利用直线方程的斜截式中斜率和截距的关系． (3)利用一般式中系数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1. ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. ③l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1. ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出l2的方程． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(a，b)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．(　　) (2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) √ √ × 2．做一做 (1)若点A(1，b)是直线2x＋3y＋1＝0上一点，则b＝________. (2)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a＋b＝________. －1 －2 2 核心素养形成 PART TWO 解 题型一 直线的交点问题 解 解 1．求两直线交点的步骤 (1)写出由两条直线的方程所组成的联立方程组； (2)解方程组求出方程组的解； (3)写出两条直线的交点坐标． 2．求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷． [跟踪训练1]　已知直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0的交点为P.求： (1)点P的坐标； (2)过点P且平行于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程； (3)过点P且垂直于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程． 解 (2)因为所求直线与l3平行， 所以可设所求直线的方程为x－2y＋m＝0(m≠－1)． 把点P的坐标代入上述方程，得－2－2×2＋m＝0，解得m＝6. 故所求直线的方程为x－2y＋6＝0. (3)因为所求直线与l3垂直， 所以可设所求直线的方程为2x＋y＋n＝0. 把点P的坐标代入上述方程，得2×(－2)＋2＋n＝0，解得n＝2， 故所求直线的方程为2x＋y＋2＝0. 解 例2　求证：不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． 证明 题型二 过定点的直线系问题 证明 [跟踪训练2]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l恒过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 解 解 例3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 题型三 对称问题 解 解 (3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，且点P′在直线l上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 解 (2)常用对称的特例 ①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； ②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)． [跟踪训练3]　如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 1．直