1.1.4 两条直线的平行与垂直-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（北师大版）

§1　直线与直线的方程 1．4　两条直线的平行与垂直 第一章　直线与圆 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 教学重点：理解直线平行或垂直的判定条件． 教学难点：平行垂直问题的综合应用． 核心素养：通过学习两条直线平行和垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 1 核心概念掌握 PART ONE k1＝k2 平行或重合 k1k2＝－1 平行或重合 1．根据两直线方程的一般式判定两直线平行的方法 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 2．根据两直线方程的一般式判定两直线垂直的方法 一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 这种方法可避免讨论，减小失误． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．(　　) (2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　) (3)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与x轴垂直．(　　) × √ × √ 答案 x－3y＋5＝0 2 核心素养形成 PART TWO 例1　判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1. 题型一　　平行、垂直关系的判断 解 解 两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， ①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. ②若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之k1k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 解 解 题型二　　利用平行、垂直关系求直线方程　　 解 1．平行直线的求法 (1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可． 其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论． [跟踪训练2]　已知直线l过点A(2，－3)． (1)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′平行，求其方程； (2)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′垂直，求其方程． 解 解 例3　(1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直，求a的值． 解 题型三　　利用平行、垂直关系求参数 解 解 [解法探究]　本例有没有其他解法呢？ 解　(1)∵l1∥l2，B2＝3≠0， ∴2×3－(m＋1)m＝0且－2(m＋1)－3×4≠0， 即m2＋m－6＝0且m≠－7，∴m＝2或m＝－3. ∴要使l1∥l2，m的值为2或－3. (2)l1中，A1＝a，B1＝1－a， l2中，A2＝a－1，B2＝2a＋3. 若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0. 即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝1或a＝－3. 解 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件． [跟踪训练3]　(1)当a为何值时，直线l1：x＋y－2a＝0与直线l2：(a2－2)x－y＋2＝0平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 1．在平面直角坐标系中，直线l1：x－ay＋1＝0和直线l2：ax＋y＋10＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法判断 解析　∵1·a＋(－a)·1＝0，∴l1⊥l2. 答案 解析 2．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x