第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（7大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（7大考点） ( 考点 考向 ) 一、空间直角坐标系 1.求空间点的坐标：在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 2.空间向量的坐标表示： （1）若则. （2）在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z). 3. 求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 二、空间向量线性运算的坐标表示 空间向量坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 三、空间向量的平行与垂直 空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 四、空间向量的长度与夹角 空间向量的夹角与长度问题 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 【微点拨】设，是空间中任意两点，则， ，这是空间两点间的距离公式 ( 技巧 方法 ) 1.进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． （1）在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等． （2）进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． 2.空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标． 3.判断空间向量垂直或平行 （1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； （3）对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝ (x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． 4.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； （3）利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求出线段端点的坐标； （3）利用两点间的距离公式求出线段的长． ( 考点 精讲 ) 考点一：空间向量的坐标表示 一、单选题 1．（2022·全国·高二）平行六面体中，，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设， ∵，又， ∴， 解得，即. 故选：B. 2．（2022·江苏·高二课时练习）向量，，，中，共面的三个向量是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A：若共面，则，即， 即，显然不存在满足题意，故不