专题专练 基本不等式-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

基本不等式专练 1. 已知，，且，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】 A  【解析】解：，，且， 则， 当且仅当且即，时取得最大值． 故选：． 由基本不等式可知，，代入可求． 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是利用和定积最大． 2. 若，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】 C  【解析】 【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，属于较易题目． 根据题意，结合基本不等式求得最值即可． 【解答】 解：因为，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时解得 即的最小值为， 故选C．    3. 已知，则函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】 D  【解析】 【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 因为，由，利用基本不等式即可求解． 【解答】 解：已知，则， 函数，当且仅当时等号成立， 故函数的最小值是． 故本题选D．    4. 已知，，且，则的最小值是．(    ) A. B. C. D. 【答案】 C  【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式的灵活运用能力．属于基础题． 解法一：消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值． 解法二：“乘法”与基本不等式的性质求解． 【解答】 解：解法一：消元法． ，，． 又，，． 则 ． 当且仅当，时取等号． 解法二：直接利用基本不等式． ，，，则 ． ． 当且仅当，时取等号． 故选：．    5. 若，则的最大值是   (    ) A. B. C. D. 【答案】 A  【解析】 【分析】 本题考查基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题． 由可得，把变形为，由基本不等式可得最大值． 【解答】 解：因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为． 故选A．   6. 已知、均为正实数，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】 C  【解析】 【分析】 本题考查由基本不等式求最值以及解不含参的一元二次不等式，属于较易题． 由已知等式变形可得，由基本不等式得到关于的一元二次不等式，解不等式可得的最小值．  【解答】 解：因为，  所以， 整理得， 因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 解得或， 又，，所以， 故的最小值为． 故选：．    7. 已知，，且，则当取得最小值时，(    ) A. B. C. D. 【答案】 B  【解析】 【分析】 化简已知条件，得到，通过“乘法”与基本不等式的性质求解即可． 本题考查了基本不等式的灵活运用能力．属于基础题． 【解答】 解：直接利用基本不等式 ，， 那么： ． 当且仅当，时取等号． 故选B．   8. 已知实数满足，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】 C  【解析】 【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，综合性较强，属于中档题． 根据题意，将通分化简整理，再运用基本不等式求解最值． 【解答】 解：由题意， ， ， ， ， ， 的最小值是， ， 当且仅当，即时，的值最大， 的最大值是：， 的最大值为， 故选：．   9. 若正数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】 B  【解析】 【分析】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 由题意得，且，代入利用基本不等式即可得解． 【解答】 解：正数，满足， ，解得． 则 ， 当且仅当时取等号此时． 的最小值为． 故选B．   10. 已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】 A  【解析】 【分析】 本题考查基本不等式的应用，通过利用基本不等式求代数的最值，得出参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题． 利用基本不等式求出的最大值，从而可得出的取值范围． 【解答】 解：由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，则． 因此实数的取值范围为． 故选：．    11. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为(    ) A. B. C. D. 【答案】 B  【解析】 【分析】 本题考查基本不等式的运用，属于基础题． 把给定函数变形，利用基本不等式即可得解． 【解答】 解：由题意得，， 当且仅当，即时取“”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为． 故选B．    12. 已知，则下列函数的最小值为的有(    ) A. B. C.