2.2 圆的对称性-2022年暑假新九年级数学上册教材预习辅导讲义（苏科版）

2.2 圆的对称性 教材知识总结 圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】 (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　　 　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 看例题，涨知识 【例题1】已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC． 【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数． 【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长． 【例题4】如图，在中，AB是直径，弦EF∥AB． (1)请仅用无刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，，，求PQ的长度． 课后习题巩固一下 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ②平分弦的直径平分弦所对的弧 ③垂直于弦的直线必过圆心 ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 3．下列命题是真命题的是（　　） A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 4．如图，CD为⊙O的直径，弦，垂足为E，，，则CD的长为（       ） A．20 B．24 C．25 D．26 5．如图，在中，于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（       ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 6．如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段OE的长为（       ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．如图，为圆的一弦，且点在上．若，，的弦心距为3，则的长度为何？（     ） A．3 B．4 C． D． 8．如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（       ） A．1 B． C．2 D．4 9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（       ） A．100° B．110° C．115° D．120° 10．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（       ）. A． B． C．4 D．3 二、填空题 11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm． 12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____． 13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度． 14．如图，在中，，连接，，则__（填“”，“ ”或“” ． 15．如图，AB，CD是的直径，弦，所对的圆心角为40°，则的度数为______． 16．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且 ．若∠COD=40°，则∠ADO=______度． 三、解答题 17．如图，的弦、相交于点，且．求证：． 18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC． (1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点； (2)连接AD，求三角形OAD的面积． 19．如图，已知是的直径，是上一点，点、在直径两侧的圆周上，若平分，求证：劣弧与劣弧相等． 20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长． 21．如图，正方形ABCD内接于⊙O， ，求证：BM＝CM． 22．如