2.1 圆-2022年暑假新九年级数学上册教材预习辅导讲义（苏科版）

2.1 圆 教材知识总结 圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 【点拨】 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 【点拨】 ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 【点拨】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 【点拨】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 【点拨】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。 5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 【点拨】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 看例题，涨知识 【例题1】已知两点A、B和直线l，求作一圆，使之经过A、B两点，且圆心在直线l上． 【例题2】已知点P、Q，且PQ＝4cm， （1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合． （2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来． 【例题3】如图，在ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围． 【例题4】如图，、为中两条直径，点，在直径上，且．求证：． 课后习题巩固一下 一、单选题 1．已知的半径为，点P在上，则的长为（       ） A． B． C． D． 2．已知的半径是4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（       ） A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部 3．已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（       ） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 4．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（       ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（       ） A．30° B．40° C．50° D．60° 7．图，菱形的三个顶点、、在上，则（       ）． A．100° B．150° C．120° D．60° 8．如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（       ） A．30° B．40° C．50° D．60° 二、填空题 9．如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝__． 10．如图，为⊙的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是25°，则 的度数为_____________． 11．已知⊙O的半径为6cm，当线段OA＝8cm时，点A和⊙O的位置关系是_________． 12．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 ______． 三、解答题 13．如图，把一个以点为圆心的圆的面积四等分，请用尺规作图画出一种分割方法．（不