第04讲 一元二次方程根的判别式、根与系数关系（2大考点4种解题方法）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略(沪教版）

第04讲 一元二次方程根的判别式、根与系数关系 （2大考点4种解题方法） ( 考点 考向 ) 一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 特别说明： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． ( 考点 精讲 ) 一、根的判别式 1．（2021·上海八年级期末）下列方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式逐项判断即可． 【详解】A．，所以原方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意． B．，所以原方程没有实数根，故B符合题意． C．，所以原方程有一个实数根，故C不符合题意． D．，所以原方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查判断一元二次方程根的情况．熟记判别式公式是解答本题的关键． 2．（2021·上海市康城学校八年级期末）在下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可． 【详解】A. ，即， ∵， ∴原方程无实数根，A不符合题意． B. ， ∵， ∴原方程有一个实数根，B不符合题意． C. ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根，C符合题意． D. ∵， ∴原方程无实数根，D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情况是解答本题的关键． 3．（2021·上海金山区·）下列关于的方程中一定没有实数根的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据根的判别式解答即可． 【详解】解：A.∵=4-0=4>0，∴方程有2个不相等的实数根，故不符合题意； B.∵=4-4=4=0，∴方程有2个相等的实数根，故不符合题意； C.∵=4-8=-4<0，∴方程没有实数根，故符合题意； D.∵=4+8=12>0，∴方程有2个不相等的实数根，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当<0时，一元二次方程没有实数根． 二、判别式综合应用 4.已知关于的一元二次方程． （）求证：方程总有两个实数根； （）记该方程的两个实数根为和若以，，为三边长的三角形是直角三角形，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）或． 【解析】（）证明：， 无论取何值，方程总有两个实数根． （）解：，．，． 以，，为三边长的三角形是直角三角形，． 当为斜边时，则，解得． 当为斜边时，则，解得． 综上所述，的值为或． 5.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实