作业20 空间角-2022高一数学【精彩假期】暑假作业（浙江专用）

作业20　空间角 1．A　2.C　3.A　 4．C　【解析】 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°. 5．B　【解析】 连接B1D1，CD1，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1， ∴A1C1⊥平面BB1D1，则A1C1⊥BD1，同理DC1⊥BD1， ∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确； ∵A1B1∥CD，A1B1＝CD，∴四边形DA1B1C为平行四边形， 则B1C∥A1D，则∠DA1C1为异面直线B1C与A1C1所成角， 又A1D＝A1C1＝C1D， 则∠DA1C1＝60°，即异面直线B1C与A1C1所成角为60°，故B错误； ∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D， ∴B1C∥平面A1C1D. 可得P到平面A1C1D的距离为定值，即三棱锥P­A1DC1的体积为定值，故C正确； ∵A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1C1D，设平面A1C1D与底面ABCD的交线为l， 由直线与平面平行的性质，可得平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1，故D正确．故选B. 6．C　【解析】 如图所示，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝.因为M为A′C的中点，所以MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM.所以∠CMA为二面角C­BM­A的平面角．因为AC＝1，MC＝AM＝，所以∠CMA＝90°. 7．D　【解析】 在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE. ⇒C1E⊥平面BDD1B1， ∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值． ∵BC1＝＝，C1E＝＝， ∴sin ∠C1BE＝＝＝. 8．A　 【解析】 不妨设正四面体ABCD的棱长为3，则该四面体的高为，BN＝AN＝， 要求直线MN与BC所成的最小角，即为直线BC与平面ABN所成的角， 记点C到平面ABN的距离为h，由等体积法可知， VC­ABN＝VA­BCN，即S△ABN·h＝S△BCN·， 解得h＝，所以直线BC与平面ABN所成角的正弦值为＝＝，所以sin θ的最小值为. 9．BC　【解析】 若α∥β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故A错误； 若a⊥α，a⊥β，由直线与平面垂直的性质可得α∥β，故B正确； 若a∥b，a⊥α，则b⊥α，又b∥β，∴α⊥β，故C正确； 若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，故D错误．故选BC. 10．ABC　【解析】 如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，因为侧面PAD为正三角形， 所以PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，所以AD⊥平面PBM，故A正确． 对于B，因为AD⊥平面PBM，所以AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确． 对于C，因为平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，所以BC⊥平面PBM，所以BC⊥PB，BC⊥BM，所以∠PBM是二面角P­BC­A的平面角，设AB＝1，则BM＝，PM＝，在Rt△PBM中，tan ∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P­BC­A的大小为45°，故C正确． 对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选ABC. 11．30°　 12.　【解析】 如图所示，过B 作BF⊥AC，过 B1作 B1E⊥A1C1， 连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG， 在正三棱柱中，有B1E⊥平面AA1C1C， ∴BF⊥平面AA1C1C，DG⊥平面AA1C1C， ∴∠DAG＝α，可求得DG＝BF＝， AD＝＝， 故sin α＝＝. 13．45°　 【解析】 如图，设C在平面α内的射影为点O， 连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝， 所以CM＝，CO＝，所以sin ∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°. 14.　【解析】 因为折叠前后，AD与DB，CD的垂直关系保持不变， ∴∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，依题意可知∠BDC＝60°，在折叠前的图形中∠B＝∠C＝30°，BC＝2　， ∴BD＝CD＝， ∴在折叠后，△BCD为等边三角形，∴BC＝， 所以cos ∠PAQ＝＝， 又∵AP＝1，AQ＝，AD＝1，AB＝AC＝2， ∴＝，解得PQ＝. 15．解：(1)证明：取BD的中点O，连接OA，OA1，A1D，如图1， 因为AB＝AD，所以BD⊥OA. 又由四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等， 图1 且∠A1AB＝∠A1AD＝60°， 可得A1D＝A1B， 所以BD⊥OA1. 又因为O