作业19 空间直线、平面的垂直-2022高一数学【精彩假期】暑假作业（浙江专用）

作业19　空间直线、平面的垂直 1．A　2.B　3.C　 4．D　【解析】 如图， 因为PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，所以△PAC≌△BAC，所以PC＝BC， 取PB的中点G，连接AG，CG，则PB⊥CG，PB⊥AG，又因为AG∩CG＝G， 所以PB⊥平面CAG，则PB⊥AC，因为D，E分别为棱BC，PC的中点， 所以DE∥PB，则DE⊥AC.故选D. 5．A　【解析】 如图，在平面ABC内，作CD⊥AB，垂足为D，连接SD. ∵SA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC， ∴SA⊥CD. 又∵SA∩AB＝A，SA⊂平面SAB，AB⊂平面SAB， ∴CD⊥平面SAB， ∴∠CSD为直线SC与平面SAB所成的角． ∵AC＝2，SA＝2，SA⊥AC，∴SC＝2　. ∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°， ∴CD＝＝＝， ∴sin ∠CSD＝＝，故选A. 6. B　【解析】 如图，利用等体积法，VC1­EBD＝VD­C1EB，设点C1到平面EBD的距离为d， 正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，故BD＝2　，BE＝ED＝， h＝＝＝，即S△EBD＝BD·h＝×2　×＝， 又点D到平面C1EB的距离等于D到平面C1CBB1的距离，因为CD＝2，S△C1EB＝×1×2＝1， 由VC1­EBD＝VD­C1EB得，××d＝×1×2，故d＝＝． 7. 图1 C　【解析】 三棱锥A1­AB1D1如图1所示，记A1在面AB1D1上的射影点为O，连接AO，B1O，D1O， 因为AA1＝A1D1＝A1B1，又A1O⊥平面AB1D1， 所以AA1＝，A1D1＝， A1B1＝， 所以AO＝OB1＝OD1，所以O为△AB1D1的外心． 图2 三棱锥A1­BC1D如图2所示．记A1在面BC1D上的射影点为O1，连接BO1，C1O1，DO1， 因为BC1∥AD1，且四边形ADD1A1是菱形，所以AD1⊥A1D，所以 BC1⊥A1D， 又因为A1O1⊥平面BC1D，所以A1O1⊥BC1，A1O1∩A1D＝A1， 所以BC1⊥平面A1O1D. 又因为DO1⊂平面A1O1D，所以DO1⊥BC1， 同理可知，BO1⊥DC1，C1O1⊥DB，所以O1为△BC1D的垂心，故选C. 8．A　【解析】 连接AB′和A′B(图略)，设AB＝a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB′＝， 在Rt△BAB′中，AB′＝a，同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′＝， 所以A′A＝a，因此在Rt△AA′B′中， A′B′＝＝a， 所以AB∶A′B′＝a∶a＝2∶1，故选A. 9．ABC　【解析】 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选ABC. 10. AD　【解析】 AB是圆的直径，C在圆上，则AC⊥BC.又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC， PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，A正确； 又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC，D正确； 若AC⊥平面PCB，则AC⊥PC，而PA⊥平面ABC，则PA⊥AC，PA，PC重合，矛盾，B错； 若平面PAB⊥平面PBC，如图，作CD⊥PB于D，∵平面PAB∩平面PBC＝PB，∴CD⊥平面PAB，而PA⊂平面PAB，∴CD⊥PA，CD∩BC＝C，∴PA⊥平面PBC，于是平面PBC与平面ABC重合．矛盾，C错． 故选AD. 11. ABC　【解析】 如图，连接AC，BD交于点O，连接OE， ∵底面ABCD是正方形， ∴O是AC的中点． ∵E是棱PC的中点，∴PA∥OE， ∴∠EOD是异面直线PA与BD所成的角． ∵底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， ∴OE＝DE＝OD，∴∠EOD＝， ∴异面直线PA与BD所成角的大小为，故A正确； ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC， 又AC⊥BD，PD∩DB＝D，PD⊂平面PDB，BD⊂平面PBD， ∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC， ∴平面PAC⊥平面PBD，故B正确； ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC， 由底面ABCD是正方形，得BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC， ∴BC⊥DE. ∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC. ∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PBC. ∵PB⊂平面PBC，∴