作业16 空间几何体的表面积与体积-2022高一数学【精彩假期】暑假作业（浙江专用）

作业16　空间几何体的表面积与体积 1．B　2.D　3.C　 4．B　 【解析】 设内切球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，故圆柱的表面积S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，内切球的表面积S2＝4πR2， ∴该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为＝＝. 5．B　【解析】 不妨设半圆的半径为1，用圆心角为的小扇形围成的圆锥的底面周长为×1＝，设其底面半径为r1，则2πr1＝，所以r1＝，该圆锥的高h1＝＝.用圆心角为的大扇形围成的圆锥的底面周长为×1＝，设其底面半径为r2，则2πr2＝，所以r2＝，该圆锥的高h2＝＝.所以h1∶h2＝∶8. 6. C　【解析】 设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则CD＝OC. ∵O是三棱锥P­ABC的外接球球心， ∴OP＝OC＝1，∴CD＝，∴BC＝. ∴VP­ABC＝S△ABC·OP＝××()2×1＝. 7．D　【解析】 由题意知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H＝×8＝， 底面半径r＝×4＝，故细沙的体积V＝πr2H＝π×2×＝， 当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4， 设高为H′，则π×42×H′＝，得H′＝， 故此圆锥形沙堆的高为cm. 8. D　【解析】 如图所示，由正三棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O′，设外接圆的半径为r，外接球的半径为R， 正三棱锥的外接球的球心在高SO′所在的直线上，设为O，连接OA ，得 r＝，∴r＝2　，即O′A＝2　，所以三棱锥的高h＝＝＝6.由勾股定理得，R2＝r2＋(h－R)2，解得R＝4， 所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π. 9．ABD　【解析】 设圆锥底面圆的圆心为O，连接PO，则圆锥的高h＝＝＝1，故选项A正确；因为圆锥的母线长都相等，所以△PAB为等腰三角形，故选项B正确；设弦AB的长度为2x(0<x≤)，弦AB的中点为D，连接OD，PD，PO，则OD2＝3－x2，PD2＝OD2＋PO2＝3－x2＋1＝4－x2，于是△PAB的面积S＝PD·AB＝·2x＝≤＝2，当且仅当x＝时取等号，所以△PAB面积的最大值为2，故选项C错误；易知∠PAO就是直线PA与圆锥底面所成的角，且sin∠PAO＝＝，因此∠PAO＝，故选项D正确． 10．AD　【解析】 将该四棱台补全为四棱锥S­ABCD，连接AC，BD相交于点O，连接A1C1，B1D1相交于点O1，连接SO，则SO过点O1，且SO⊥平面ABCD，∴OO1为该四棱台的高． ∵A1B1∥AB，∴＝＝＝，∴SA＝4，SA1＝2，由四边形ABCD为正方形且AB＝2　可得AO＝2，则A1O1＝1，∴SO＝2　，SO1＝，OO1＝，故选项A正确；∵SA＝SC＝4，AC＝4，∴∠ASC＝60°，故选项B不正确；梯形A1B1BA的高为＝，故该四棱台的表面积为×＋2　×2　＋4××＝10＋6　，故选项C不正确；∵该四棱台的上、下底面都是正方形，因此该四棱台外接球的球心在直线OO1上，连接OB1，在△OO1B1中，由OO1＝，O1B1＝1可得OB1＝2，又OB＝2，∴OB1＝OB，∴该四棱台外接球的球心为O，球的半径r＝2，∴外接球的表面积为4πr2＝16π，故选项D正确． 11．9π　9　π 12．4　π　【解析】 根据正六棱柱的对称性可知，其外接球的直径为2R＝×＝2　，即R＝，所以V＝πR3＝4　π. 13．1∶7　【解析】 设三棱台的高为h，上底面面积为S上＝m，则由三棱台ABC­A1B1C1的上、下底面边长之比为1∶2得下底面面积S下＝4m，则V1＝VC1­A1B1B＝VB­A1B1C1＝S上h＝mh，V2＝h＝h＝mh，则＝. 14.　【解析】 根据题意可设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，圆柱的高为2r， 由球的表面积是圆柱表面积的且圆柱的表面积是6π， 所以球的表面积为4π， 所以4πr2＝4π，所以r＝1， 所以最多可以注入水的体积为πr2·2r－πr3＝πr3＝. 15．解：(1)设AA1＝a，依题可知，V＝2×2a－××2×2a＝，解得a＝4，所以AA1＝4. (2)经过A1，C1，B，D四点的球就是长方体ABCD­A1B1C1D1的外接球， 所以其直径为体对角线，则2R＝＝2　⇒R＝， 所以S＝4πR2＝4π×6＝24π，V＝πR3＝8　π. 16．解：(1)平面四边形OABC的平面图如图所示： 由直观图可知菱形的高为2×＝2　， 所以面积为3×2　＝6　. (2)旋转而成的几何体如图所示， 该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥， 由(1)可知圆柱的底面半径为 r＝＝2　，母线长l＝3， 体积V＝πr2l＝(2　)2π·3＝24π； 表面积S＝2πrl＋2πrl＝4πrl＝24　π. 学科网（北京）股份