作业09 正、余弦定理-2022高一数学【精彩假期】暑假作业（浙江专用）

作业9　正、余弦定理 1．D　2.D　3.D　 4．C　【解析】 ∵2sin B＝sin A＋sin C，∴2b＝a＋c.① ∵cos B＝，∴＝.② ∵B∈，∴sin B＝，∴S△ABC＝ac×＝6，③ 由①②③，解得b＝4. 5．D　【解析】 由正弦定理知，＝＝，∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A，又sin(B＋C)＝sin A，∴sin A＝1或0(舍去)，∴A＝90°.∵sin2B＝sin2C， ∴b2＝c2，即b＝c，∴△ABC为等腰直角三角形． 6．A　【解析】由sin A＋sin B<sin C可得a sin A＋b sin B<c sin C，由正弦定理可得a2＋b2<c2，由余弦定理可得cos C＝<0 ，又0<C<π，所以角C为钝角，所以△ABC为钝角三角形． 7．C　【解析】 ∵bc sin A＝bc＝2＋，∴bc＝4＋4　. 又cos A＝＝＝ ＝，∴a＝. 8．C　【解析】 由题得，三角形的面积S＝·a2＝bc sin A， ∴a2＝2　bc sin A．∵cos A＝， 可得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝2　bc sin A＋2bc cos A， 所以＋＝＝2　sin A＋2cos A＝ 4sin ≤4，所以＋的最大值为4. 9．ACD　【解析】 由A>B可知a>b，再根据正弦定理可得＝，所以sin A>sin B，故A正确； 由＝及正弦定理可知＝，即sin 2A＝sin 2B，又A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，可知△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 由正弦定理知，＝2R，＝＝2R，故C正确； 因为tan A＋tan B＋tan C＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)＋tan C＝－tan C(1－tan A tan B)＋tan C＝tan C tan A tan B<0， 又A，B，C∈(0，π)，故A，B，C中有且只有一个角为钝角，故D正确． 10．ACD　【解析】 因为b＝c cos A，由正弦定理可得，sin B＝sin C cos A＝sin (A＋C)， 所以sin A cos C＝0，因为sin A≠0，所以cos C＝0，即C＝. ∵＝cos A＝，由角平分线定理可得，＝＝， 设AC＝x，AB＝8x，则BC＝3　x，CD＝x， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得，x2＋＝1， 解得x＝，即AC＝，AB＝6， ∵S△ABC＝××6×＝， 所以S△ABD＝S△ABC＝. 11.　【解析】 由sin C＝2sin A及正弦定理得c＝2a. 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 所以22＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，解得a＝1，所以c＝2. 又sin B＝＝，所以S△ABC＝ac sinB ＝×1×2×＝. 12．1　【解析】 ∵在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6， ∴cos C＝＝，cos A＝＝， ∴sin C＝，sin A＝，∴＝＝＝1. 13．2　　【解析】 由题意，△ADC为等边三角形，即AC＝CD＝4，又∠DCB＝∠ACD＋∠ACB＝105°，∠CDB＝30°，则∠DBC＝45°，∴在△BDC中，＝，可得BC＝2　，∴在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝24－16＝8，故AB＝2　. 14．4＋2　　【解析】 建立平面直角坐标系，如图所示， 设CA＝r，∠BCA＝θ(0<θ<π)， 则点A的坐标为(r cos θ，r sin θ)， 所以S△BCD＝×4×r sin ＝r sin θ＋r cos θ＝yA＋xA， 易知点A在以B为圆心，2为半径的圆上，设∠ABx＝α(0<α<π)， 则点A的坐标为(4＋2cos α，2sin α)， 所以S△BCD＝yA＋xA＝4＋2cos α＋2sin α＝4＋2　sin ，当且仅当α＝时，△BCD的面积最大，最大值为(4＋2　)平方百米． 15．解：(1)由已知可得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C， ∴2cos C sin (A＋B)＝sin C. ∵sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝. (2)S△ABC＝ab sin C，即 ＝ab·，解得ab＝6. 又∵a2＋b2－2ab cos C＝c2， ∴a2＋b2＝13， ∴(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5，∴△ABC的周长为5＋. 16．解：(1)若选①：sin B＝ac， 且a2＋c2－b2＝2ac cos B， 所以2ac cos B sin B＝ac，所以sin 2B＝. 又<B<π，所以<2B<2π， 所