【复习】专题03 三角恒等变化-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019）

三角恒等变换 【知识梳理】 1．两角和与差的余弦公式 C（α－β）：cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ． C（α＋β）：cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β ． 2．两角和与差的正弦公式 S（α＋β）：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ． S（α－β）：sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ． 3．两角互余或互补 （1）若α＋β＝，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与互余，＋α与互余． （2）若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与互补，与π－α互补． 4．两角和与差的正切公式 （1）T（α＋β）：tan（α＋β）＝ ． （2）T（α－β）：tan（α－β）＝ ． 5．两角和与差的正切公式的变形 （1）T（α＋β）的变形： tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β） ． tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝tan（α＋β） ． tan α·tan β＝． （2）T（α－β）的变形： tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β） ． tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β）＝tan（α－β） ． tan αtan β＝． 6.二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sinαcosα S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan 2α＝ T2α 【典型例题】 考点一：化简求值 1. 等于备注： A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，“切”化“弦”后通分整理是关键，考查化简与运算能力，属于基础题． 将原函数式中的“切”化“弦”后，通分整理，用辅助角公式整理即可． 【解答】 解： ． 故选：． 2. 已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到，结合得到，求出. 【详解】 因为， 所以， 整理得：， ， ， 因为， 所以， 所以， 解得： 故选：D.   3. 下列各式中，值为的是　　 A. B. C. D. 【答案】 ABC 【解析】 【分析】 本题考查了二倍角公式和辅助角公式的应用，两角差的正切公式，属于中档题． 根据二倍角公式和辅助角公式的应用，两角差的正切公式，对选项逐一化简可得出结果． 【解答】 解：对于，原式 ，故A符合题意； 对于， ，故B符合题意； 对于， ，故C符合题意； 对于，原式  ，由于 ，可知 ， 即 ，故D不符合题意． 4. 若，则       A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 本题主要考查三角形的和差公式，三角形的二倍角公式，三角形的辅助角公式和诱导公式，考查了考生的理解，计算能力，属基础题． 利用可求得，然后再利用二倍角公式和诱导公式即可再求出的值． 【解答】 解：因为， 则， 所以， 所以， ． 故选D．   5. 若，则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和差三角函数在三角函数化简求值中的应用，属于中档题． 由已知利用两角和差三角函数可求，的关系式，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解得出，再由二倍角公式得出即可． 【解答】 解：因为，所以， 即， 则， 故 则， ， 所以 故选：． 考点二：比较大小 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 又，所以， 即， 利用三角函数线可以证明为锐角时，， 如图，在单位圆中，以为始边，为顶点作出角，其终边与单位圆交于点，过单位圆与轴正半轴交点作轴的垂线，角的终边与这条垂线交于点， 则，劣弧的长为， 扇形的面积为，面积为， 由图形，易知，即，所以， 所以，， 所以． 故选：D． 7. 已知，，，则a，b，c的大小顺序为（       ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用和差角正弦公式及商数关系可得、、，根据正弦函数的性质判断大小. 【详解】 ， ， ， 所以. 故选：B 考点三：三角函数图像与性质   8. 已知函数，则 A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称 D. 函数在区间上单调递减 【答案】 BCD 【解析】 【分析】 本