第06讲 一元二次方程与一元二次不等式-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 【知识梳理】 1.一元二次函数与一元二次方程联系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 二次函数 （）的零点 2. 一元二次不等式的求解与一元二次函数以及一元二次方程联系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 3.简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 4.一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 5.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案. 【典型例题】 考点一：一元二次方程的解法 1. 函数的零点为          ． 【答案】 ，  解：令，则， 即， 所以，， 所以该函数的零点为，． 故答案为，． 2. 已知二次方程的一个根为，则另一个根为．(    ) A. B. C. D. 【答案】 A  解：设另一根为，由韦达定理可知： ，即． 故选：．    3. 若关于的二次方程的两个实数分别为，，且满足，则的值为______ 【答案】   解：根据题意，二次方程的两个实数分别为，， 则有，变形可得， 则，， 若，则有， 解可得：或， 又由， 则； 故答案为．   考点二：根的分布 4. 若关于的方程的两根为正数包含等根，则的取值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】 BCD  解：由题意，构建函数，定义域为， 因为关于的方程的两根为正数包含等根，  所以 解得，  结合选项可知，，，D正确． 故选：． 5. 方程的两个根均大于，则的取值范围是_________． 【答案】   解：方法一：设方程两根为，， 由于两根都大于，故有且， 即且， 又由韦达定理可得：，， ， 解得， 又， 解得， 综上得． 故答案为 ． 方法二：方程的两根均大于， 则函数的两个零点均大于， 则 解得， 故答案为 ．   6. 如果方程的两个实根一个小于，另一个大于，那么实数的取值范围是__________． 【答案】   【解析】 解：由题意，令  ， 两个实根一个小于，另一个大于， ，， 解得． 故答案为：．    7. 关于的方程的两根为，，且满足，则的取值范围是          ． 【答案】   【解析】 【分析】 本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系．其中根据方程的根与对应函数零点之间的关系，构造关于的不等式是解答本题的关键 ，属中档题． 方程相应的函数在区间 与区间 上各有一个零点，此条件可转化为不等式组 ，解不等式组即可得到实数的取值范围  【解答】 解：依题意，方程对应的函数的两个零点，满足， 则必有，  即，  解得  故答案为  8. 若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】 A  【解析】 【分析】 本题考查一元二次方程根的分布问题，属于基础题．由题意列出不等式组，即可解出结果． 【解答】 解：设， 由条件得：，解得：． 故选A．   9. 设，若关于的不等式在区间上有解，则 A. B. C. D. 【答案】 D  【解析】 【分析】 本题考查一元二次不等式的解的存在性问题，考查转化思想，属于中档题； 由时，等价于，可将问题转化为求函数的最大值， 利用导数讨论函数单调性求解即可． 【解答】 解：当时，等价于， 设， 则关于的不等式在区间上有解就等价于， 而当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以． 故选：． 考点三：一元二次不等式的解法 10. 不等式的解集是（       ） A．R B． C．或 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质，分析即可得答案. 【详解】 由题意得所求，令，为开口向上的抛物线， ， 所以恒成立， 所以不成立，故的解集为. 故选：B 11. 解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）将原不等式变形为，利用二次不等式的解法可求得原不等式的解集； （2）将原不等式变形为，利用二次不等式的解法可求得原不等式的解集. 【详解】 （1）由可得，解原不等式可得. 因此，不等式的解集为； （2）由可得，变形得，