2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 4.3对数函数

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.3对数函数 学生版 学习笔记 【必修一】第4章 幂函数、指数函数与对数函数 章 节 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 （课时：2+3+3+1） 4.1 幂函数 4.1. 1 幂函数的定义与图像 4.1. 2 幂函数的性质 4.2 指数函数 4.2. 1 指数函数的定义与图像 4.2. 2 指数函数的性质 4.3 对数函数 4.3. 1 对数函数的定义与图像 4.3. 2 对数函数的性质 初中已经学过一些基本的初等函数，如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数 等．函数是描述客观世界中变量之间相互关系和变化规律的重要语言和工具．例如，一次函 数可描述匀速运动，二次函数可描述匀加速运动等； 本章我们将在上一章的基础上，通过固定等式的三个量、、中的一个量， 研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数———幂函数、指数函数和对数函数．要学会用函数图像和代数运算的方法研究这些函数的性质，了解它们各自蕴含的规律．同时，要通过建立数学模型，解决一些简单的实际问题，并体会这些函数在解决有关实际问题中的作用．这些都将为下一章“函数的概念、性质及应用”的学习奠定基础． 知识梳理 学习笔记 【知识要点】 1、对数函数 当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：； 2、反函数 因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算，作为函数，称对数函数是指数函数的反函数； 3、定理： 当，时，； 4、对数函数性质 （1）定义域为；（2）当时，； （3）当时，在区间上是严格增函数；当时，在区间上是严格减函数； 5、对数函数的图像特征 a>1 0<a<1 （1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交； （2）过定点 （3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降 【重要结论】 对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 学习笔记 典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) ①函数y＝log2(x＋1)是对数函数；（ ） ②函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同；（ ） ③当x>1时，若logax>logbx，则a<b；（ ） ④对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是严格增函数；（ ） ⑤函数与的图像重合；（ ） 【提示】； 【答案】； 【解析】； 例2、若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________. 例3、函数y＝f(x)的图像是过点(4，－1)的直线，其反函数的图像过点(－3，－2)，求函数f(x)的表达式 例4、已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 例5、已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1； （1）求函数f(x)的定义域； （2）若函数f(x)的最小值为－4，求a的值； 例6、（1）如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应学习笔记 y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图像， 你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？ （2）函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图像大致为（ ） 【体验真题】 1、(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 2、(2021·天津卷)设a＝log2 0.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 方法归纳 1、明确1个概念——对数函数的概念 (1)对数的底数：对数的底数a>0且a≠1； (2)形式上的严格性：对数函数的定义表达式y＝logax中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数位置上，且次数为1次，系数为1，否则不是对数函数．如y＝log2(3x)、y＝log3都不是对数函数． 2．掌握3组关系——底数a与函数图像的关系 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”；当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． (2)底数的大小决定