2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 3.2 对数

第3章 幂、指数与对数 3.2 对数 学生版 学习笔记 【必修一】第3章 幂、指数与对数 章 节 第3章 幂、指数与对数（课时：2+3+1） 3.1 幂与指数 3.1.1 指数幂的拓展 3.2 对数 3.2.1 对数的定义 3.2.2 对数的运算性质 3.2.3 对数的换底 关于幂我们并不陌生，在初中时已经学过正整数指数幂及其基本的运算性质，并经历了 将正整数指数幂推广到整数指数幂的过程；这里通过复习分数指数幂，将指数从整数拓展到 有理数，再引入无理数指数幂，最终将指数从有理数拓展到实数；本章是为下一章用幂函数描述变量之间的相应关系作好准备滴； 本章还将学习对数这一个新的概念，它是指数运算的逆运算---对数；对数用于简化计算的 功能已经完成了其历史任务；但是，对数这个概念及对数函数的种种性质在现代数学和其他 科学领域中的作用却有增无减，一直占据着重要的位置； 知识梳理 学习笔记 【知识要点】 1、对数的概念 如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数； 2、常用对数、自然对数 常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数， 自然对数：以（是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， ； 3、对数的性质 当（，且）时； ①零和负数没有对数；②；③；④；⑤； 4、对数的运算法则 当时； ①正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；； 推广：； ②两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；； ③正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；； 5、对数的换底公式 当（，且，）时； 6、对数运算的一些结论 ① ；② ；③ ； 【重要结论】 1、换底公式的变形 ①logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； ②logambn＝logab(a，b均大于0且a不等于1，m≠0，n∈R). 2、换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3、对数恒等式学习笔记 alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)，logaaN＝N(a>0，且a≠1).典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x；（ ） ②若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN；（ ） ③若M＝N，则logaM＝logaN(a>0，a≠1) ；（ ） ④2lg 3≠3lg 2；（ ） 例2、在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　 　) A．（－∞，2）或（5，+∞） B．（2，3）或（3，5） C．（2，5） D．（3，4） 例3、下列结论正确的是(　　) ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2. A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 例4、已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________．(用m，n表示) 例5、求值： （1）log225·log3·log5；（2）(log32＋log92)·(log43＋log83)； （3）； （4）ln (e)＋log26＋log3＋log23·log34； （5）log5＋[log7(－)＋log7(＋)]·log47＋9log92. 例6、已知2m＝3n＝36，求＋的值．学习笔记 例7、已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝. 例8、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1 方法归纳 1、掌握1组互化关系——指数式与对数式的互化 （1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． （2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2、明确3个特征——对数恒等式的特征 （1）指数中含有对数形式． （2）它们是同底的． （3）其值为对数的真数． 3、掌握2个策略——利用指数与对数的互化求变量值的策略 （1）若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． （2）若已知式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值． 学习笔记 巩固练习 1、若a2＝M(a>0且a≠1)，则有（ ） A．log2M＝a　　 B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2