2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 3.1 幂与指数

第3章 幂、指数与对数 3.1 幂与指数 学生版 学习笔记 【必修一】第3章 幂、指数与对数 章 节 第3章 幂、指数与对数（课时：2+3+1） 3.1 幂与指数 3.1.1 指数幂的拓展 3.2 对数 3.2.1 对数的定义 3.2.2 对数的运算性质 3.2.3 对数的换底 关于幂我们并不陌生，在初中时已经学过正整数指数幂及其基本的运算性质，并经历了 将正整数指数幂推广到整数指数幂的过程；这里通过复习分数指数幂，将指数从整数拓展到 有理数，再引入无理数指数幂，最终将指数从有理数拓展到实数；本章是为下一章用幂函数描述变量之间的相应关系作好准备滴； 本章还将学习对数这一个新的概念，它是指数运算的逆运算---对数；对数用于简化计算的 功能已经完成了其历史任务；但是，对数这个概念及对数函数的种种性质在现代数学和其他 科学领域中的作用却有增无减，一直占据着重要的位置； 知识梳理 学习笔记 【知识要点】 3.1 幂与指数 3.1.1 指数幂的拓展 1、的次幂 如果是一个实数，是一个正整数，那么称的次幂； 2、正整数指数幂满足如下的运算性质： 对任意给定的实数、及正整数、，有 (1) (2) (3) 3、当时，可以定义： 4、的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数； 5、0的任何次方根都是0，记作； 6、 当为奇数时，；当为偶数时，； 7、分数指数幂： ，（其中，m、n为正整数，n＞1） 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂； 8、指数幂满足以下的运算性质 性质 对任意给定的正数、及实数、，有 (1) (2) (3) 9、幂的基本不等式． 定理 当，时，； 当，时，【课本第64页 练习3.1（2）第4题】；学习笔记 【重要结论】 1、根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 2、两个重要公式 ①＝ ②()n＝__a__(注意a必须使有意义)． 3、分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝____(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) ；(　 　) ②分数指数幂可以理解为个相乘；(　 　) ③（）；(　 　) ④ (，)；(　 　) 例2、阅读如下命题：学习笔记 (1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3； (2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4； (3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3； (4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2. 回答如下问题： 问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？ 问题2：一个数的奇次方根有几个？ 问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？ 例3、（1）下列命题中正确的是（ ） A． B．，则 C． D． 例4、（1）下列说法：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________． (2)若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】（1）③④；（2）{a|a≠3} 例5、地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）.那么，级地震释放的能量是级地震释放的能量的__________. 例6、若且，则_____学习笔记 例7、已知等式(其中为整数)成立，求整数的值。 方法归纳 1、指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. 2、当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3、运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；巩固练习 1、若有意义，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)∪(2，＋∞)　　B．[2，＋∞) C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．[2，4)∪(4，＋∞) 2、当a＞0时， ＝(　　) A．x B．x C．－x D．－x 3、若有意义，则的取值范围是 4、若 则b＝________学习笔记 5、若，且，