2023届上海市高三数学一轮复习讲义： 1.2 常用逻辑用语

第1章 集合与逻辑 1.2 常用逻辑用语 学生版 学习笔记 知识梳理 【知识要点】 15、命题的概念： 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题; 【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题； 特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素： （2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； 16、命题的分类： 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可； 命题真假 “若p则q”为真 “若p则q”为假 表示方法 p⇒q pq 读法 p推出q p不能推出q 17、命题的表示方法： 命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件， β称为命题的结论；用集合的语言描述：满足α满足β； 【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为： “若p，则q”， 其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论； 18、子集与推出关系： 如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）。 19、充分条件、必要条件的概念 充要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果α⇒β，则称α是β的充分条件（sufficient condition），或称β是α的必要条件（necessary condition）； 对于两个陈述句α是β，如果既有α⇒β，又有β⇒α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件；记作：α⇔β；读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”； 若p⇒q，则p是q的_充分__条件，q是p的_必要__条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分_条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp学习笔记 20、定义法判断充分条件、必要条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； （3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。 21、充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论； 22、充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇 （1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA； （2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}， 若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件， 若M＝N，则p是q的充要条件； 23、反证法的定义 反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假）， 然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论， 从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的； 这样的证明方法叫反证法； 【注意】反证法证明数学问题的理解：（1）反证法的理论依据是逻辑规律中 的排除律：一个事物或者是A或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误；从而结论正确；（2）反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步；“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明，做好“反设”应明确①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况；（3）反证法可以证明的命题的范围相当广泛；一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等； （4）反证法属“间接解题方法”； 24、反证法证题的基本步骤： （1）假设原命题的结论不成立；（假设） （2）从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） （3）因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）学习笔记 【注意】用反证法证明结论是B的命题；其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用已知事实、公理、定义、定理、法则、公式等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设，因此B必定成立；可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键。 26、反证法证明数学问题的理解 反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题存在性问题，不等