专题2.2 基本不等式（知识解读）-2022-2023学年高一数学《同步考点解读·专题训练》（人教A版2019必修第一册）

专题2.2 基本不等式（知识解读） 【学习目标】 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 【知识点梳理】 考点1 基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 考点2 基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 考点3 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 考点4 利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 【解题思路】 【典例分析】 【考点1 基本不等式求