28.2.2 第1课时 与视角有关的解直角三角形的应用-（教学课件）2022春【鸿鹄志·名师测控】九年级下册初三数学（人教版）

人教版·九年级下册 数学 第二十八章　锐角三角函数 28.2.2　应用举例 第1课时　与视角有关的解直角三角形的应用 新课导入 要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子 与地面所成角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长5 m的梯子．试问：当梯子的底端距离墙角2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 解：角α约为61°；这时人能安全使用这个梯子． 探究新知 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时， 1 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？ 解:设∠POQ= α ，∵FQ是☉O的切线， ∴△FOQ是直角三角形. ∵cosa = = ≈ 0.09491, ∴a ≈ 18.36°. ∴ PQ的长为 ⌒ ×6400 ≈ ×6400≈2051（km）. (1)上题中是如何将实际物体抽象为数学模型的？ (2)飞船能直接看到的地球表面的最远点的位置是如何确定的？ 本题可以抽象为以地球中心为圆心的、地球半径为半径的⊙O的有关问题. 飞船能直接看到的地球表面的最远点，是视线与地球相切时的切点. (3)最远点Q与点P的距离是弦长还是弧长？ 弧长 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？ 2 (1)什么叫俯角？什么叫仰角？ 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角. 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120． ∵tana = , tanβ = , ∴BD = AD· tana =120× tan30° = 120× ， ∴CD = AD· tanβ =120× tan60° = 120×. ∴BC = BD+CD = + = 160≈ 277(m) 因此，这栋楼高约为277m. (2)请阅读解题过程，你能谈谈其解题思路吗？你还有其他的解题思路吗？ （1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→ α=30°． （2）从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→ β=60°． （3）热气球与高楼的水平距离为120 m → AD=120 m，AD⊥BC． 利用直角三角形的知识求出BD和CD，进而求出BC. 利用锐角为30°的直角三角形，它的对边是斜边的一半和勾股定理也可以解题. 知识归纳 如图，当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角． 例题与练习 例1　如图，某城市在发展规划中，需要移走一棵古树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形为危险区，现在一名工人站在离点B 3 m远的D处测得树的顶端点A的仰角为60°，树的底部点B的俯角 为30°，问距离点B 8 m远的保护物是否在 危险区内？ E 解：过点C作CE⊥AB于点E. 在Rt△CBE和Rt△ACE中， ∴距离点B 8 m远的保护物不在危险区内． AE＝CE·tan 60°＝3 (m) ,BE＝CE·tan 30°＝ (m), ∴AB＝4 m ≈ 6.93 m<8 m． 例2　如图，河的两岸l1与l2相互平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20 m到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离． C D A E B 30° 60° l1 l2 C D A E B 30° 60° l1 l2 F 解：过点D作l1的垂线，垂足为F. ∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°， ∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°， ∴DE＝AE＝20 m． ∵DF⊥l1，AC⊥l1，∴AC∥DF， 在Rt△DEF中，EF＝DE·cos 60°＝20× ＝10(m) . ∴四边形ACDF为平行四边形． 又∵∠CAF＝90°， ∴四边形ACDF为矩形， ∴CD＝AF＝AE＋EF＝30(m) ． 答：C，D两点间的距离为30 m. C D A E B 30° 60° l1 l2 F 课堂小结 1．理解俯角、仰角的概念． 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.