28.2.1 解直角三角形-（教学课件）2022春【鸿鹄志·名师测控】九年级下册初三数学（人教版）

人教版·九年级下册 数学 第二十八章　锐角三角函数 28.2　解直角三角形及其应用 28.2.1　解直角三角形 新课导入 1．在△ABC中，∠C＝90°，三边长为a，b，c，∠A的正弦、余弦、正切分别是什么？ 2．在Rt△ABC中，除直角外，还有三边和两个锐角5个元素，知道哪几个元素可以求出其他的元素呢？ 解：sin A＝，cos A＝，tan A＝. 解：知道一边一锐角或知道两边可以求出其他未知元素． 探究新知 (1)将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？ 1 比萨斜塔倾斜程度的问题 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米. 求∠A的度数. B A C B A C 解：∵在Rt△ABC中，BC=5.2米，AB=54.5米， ∴sinA= =0.0954. 利用计算器可得∠A ≈ 5°28′. (2)在问题所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？怎么求？ ①三边的关系(勾股定理) a2+b2=c2 ; 在Rt△ABC中，∠C是直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c， B A C a b c ②∠A+∠B =90° ; ③两个锐角∠A和∠B的正弦、余弦、正切的函数求角和边的值. (3)由此，你能得出解直角三角形的内涵吗？什么是解直角三角形？ 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2 探究：在直角三角形中，除直角外的五个元素之间的关系。 (1)回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？ A B C a b c ①三边之间的关系___________(勾股定理)； a2＋b2＝c2 ②两锐角之间的关系______________； ∠A＋∠B＝90° ③边角之间的关系：sin A＝__________＝____， cos A＝__________＝____， tan A＝__________＝____． A B C a b c (2)从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？ (3)在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？在直角三角形中已知一个锐角和一条边能求出其余元素吗？在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？ 必须已知除直角外的两个元素（至少有一个是边）. 1．在直角三角形中，除直角外，如果知道两个元素_______________，这个三角形就可以确定下来． 2．在直角三角形中，由_____________________求出______________的过程，叫做解直角三角形． 知识归纳 至少有一个是边 除直角外的已知元素 其余未知元素 例题与练习 例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= ， BC=　 ，解这个直角三角形． A C B 解:∵tanA== ∴∠A=60°， ∠B=90°－∠A=90°－60°=30°， AB=2AC=2 . 例2　如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． A B C 20 35° 解:∠A=90°−∠B=90° − 35°=55°， ∵ tanB= ， ∴ a = = ≈ 28.6 . ∵ sinB= ， ∴ c = = ≈ 34.9 . A B D C 例3　如图，AD是△ABC的中线，tan B＝13，cos C＝22，AC＝2. 求：(1)BC的长；(2)sin ∠ADC的值． A B D C E 解:(1)过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1， ∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4； ∵cos C＝ ，∴∠C＝45°. 在Rt△ABE中，tan B＝ ，即 ＝ ， ∴AE＝CE＝1. (2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝ BC＝2, ∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE， ∴∠ADC＝45°， ∴sin∠ADC＝ . A B D C E 课堂小结 1．解直角三角形的概念． 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2．解直角三角形． 两边：两直角边或斜边、一直角边 一边一角：直角边、一锐角或斜边、一锐角 知道五个元素中的两个（至少有一个边） 勾