28.1 第1课时 锐角的正弦-（教学课件）2022春【鸿鹄志·名师测控】九年级下册初三数学（人教版）

人教版·九年级下册 数学 第二十八章　锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第1课时　锐角的正弦 新课导入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 从上述情境中，可以将这个问题归结为： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35cm.求AB. 1 A B C 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”, 即 可得 AB = 2BC =2×35=70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管. = ， 探究新知 (1)问题中是根据什么求出水管长度的？ (2)如果出水口的高度是40 m时，需要准备多长的水管？ 相似的直角三角形 “在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半” 80 m (3)如果出水口的高度是a m时，需要准备多长的水管？你从中发现了什么规律？ 水管的长度=2×出水口的高度 2a m； (4)如果出水口的高度是50m时，需要准备多长的水管？ 由此你能得出什么结论？ 100 m； 在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于30°，这个角 的对边与斜边的比都等于 ． 2 思考 任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比 解：∵Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2 因此 . ∴AB=BC, (1)已知条件是什么？要求的是什么？我们可以根据什么定理来求解？根据勾股定理，你列出的等式是什么？的值与三角形的大小有关系吗？由此，你能得出什么结论？ 条件：等腰直角三角形. 求等腰直角三角形锐角对边与斜边的比. 勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方. 在等腰直角三角形中，锐角对边与斜边的比等于 (2)当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. A B C C' A' B' 解：因为∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？ 3 知识归纳 1．在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个_________． 固定值 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的________________叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝____． 对边与斜边的比 例题与练习 例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值. A B C 4 3 (1) A B C 13 5 (2) 解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 如图(2) ，在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB=5. 因此 sinA= , sinB= . AC=12. 因此 sinA= , sinB= . A B C 4 3 (1) A B C 13 5 (2) 例2　如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E.设∠ADE＝α且sin α＝45，AB＝4，求AD的长． 解:∵∠ADE＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠BAC＝90°， ∴∠ADE＝∠BAC， ∴sin α＝sin ∠BAC＝ . 设AC＝5x，BC＝4x，则AB＝3x＝4， ∴x＝，∴AD＝BC＝. 例3　如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若⊙O的半径为 ，AC＝2，求sin B的值． A B O D C A B O D C 解：连接CD.∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴sin D＝＝. ∴sin B＝ sin D ＝. 由圆周角定理，得∠B＝∠D， 课堂小结 正弦的定义及运用 ∠A的对边 斜边 sin A = = A B C c b a 斜边 对边 随堂检测 1．教材P64练习第1题． 2．如图，在⊙O中过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条 切线，切点为D.若AC＝7，AB＝4，则sin C的值为____. 3．如图，把含30°角的三角尺ABC绕点B按逆时针方向旋转90°到三角尺DBE的位置，连接AD，求sin ∠ADE的值． A E D B C A E D B C F ∴DE＝＝x， 解：过点E作EF⊥AD于点F.设BD＝x.由旋转的性质，