27.2.3 相似三角形应用举例-（教学课件）2022春【鸿鹄志·名师测控】九年级下册初三数学（人教版）

人教版·九年级下册 数学 第二十七章　相似 27.2　相似三角形 27.2.3　相似三角形应用举例 新课导入 你看过或听过解密埃及金字塔的故事吗？你知道古希腊数学家泰勒斯是怎样求出金字塔的高度的吗？ 探究新知 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO=∠EDF． 又 ∠AOB=∠DFE=90°， ∴ △ABO∽△DEF． ∴ = 因此金字塔的高度为134m. ∴ BO = (1)本例中是如何构造相似三角形求高的？ 太阳光是平行光线,金字塔的影子和木棍的影子在同一时刻的投影可以构成两个相似的三角形，相似三角形对应高的比等于相似比. (2)在太阳光下，如何利用影长求物体高度，你能从中得出什么结论？ 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m， ST = 90 m，QR = 60 m，请 根据这些数据，计算河宽 PQ． 2 P R Q S b T a PQ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90(m). 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P， P R Q S b T a ∴△PQR∽△PST. ∴= 即 = (1)构造相似三角形求河宽，至少需要测量几个数据？ 至少需要测量三个数据， P R Q S b T a QS， ST， QR的三个数据. (2)利用全等能求河宽吗？请设计出具体方案． P Q a O R b S 如图，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q ，连接点 P，Q，使直线 PQ 与河垂直，接着在垂直 PQ 的直线 a 上取点 O、R．使点O是线段QR的中点，过点R做垂直于直线a的直线b，连接OP，并延长直线OP交直线b于点S. 由此△OPQ ≌ △OSR，河宽PQ=SR. ASA 知识归纳 1．同一时刻的太阳光线下，物高与影长成比例． 2．利用相似三角形解决问题的基本方法是：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解． 例题与练习 例1　如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? (1) (2) 分析：如图(1)，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，FG交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. (1) (2) 解：如图(2) ，假设观察者从左向右走到E点时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上. ∴ 即. 解得 EH=8（m） 由此可见，当她与左边较低的树的 距离小于8m时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了. ∴△AEH ∽△CEK. ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. 例2　九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度． 解：由已知得CG∥AH，∴△CGE∽△AHE， ∴AH＝11.9(m) ∴AB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)． 答：旗杆AB的高度为13.5 m. ∴ ∴ 例3　如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在点D处的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到点G，DG＝5 m，这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度．(精确到0.1 m) 解:根据题意，得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH. 在Rt△ABE和Rt△CDE中， ∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB， ∴△CDE∽△ABE， ∴. 同理. 答：