27.2.2 相似三角形的性质-（教学课件）2022春【鸿鹄志·名师测控】九年级下册初三数学（人教版）

人教版·九年级下册 数学 第二十七章　相似 27.2　相似三角形 27.2.2　相似三角形的性质 新课导入 1．类似三角形全等，若两个三角形相似，它有哪些性质？ 2．已经掌握相似三角形有哪些性质？ 相似三角形的性质有: 对应角相等 对应边成比例 探究新知 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k ，求它们对应高的比. 1 探究 A B C A' B' C' A B C A' B' C' 解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . ∴ = = k . D D' ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， 相似三角形对应高的比等于相似比. (1)在三角形中除了三条边的长度，三个角的度数，还有哪些量是我们可以研究的？ A B C A' B' C' 它们的对应高、对应中线、对应角平分线、周长和，面积. (2)如图， △ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k ，证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比； A B C A' B' C' 解：如图，分别作出 ∠A和∠A' 的角平分线 AD 和 A' D' ． 则∠B =∠B'. ∴△ABD ∽△A'B'D' . ∴ = = k . A B C A' B' C' D D' ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠A＝∠A'， ∴∠A＝∠A'， ∴∠BAD＝∠B'A'D'. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. (3)如图， △ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k ，证明：相似三角形对应中线的比等于相似比； A B C A' B' C' 解：如图，分别作出 BC 和B' C'的中点D 和 D' ,连接AD 和 A' D' ． 则∠B =∠B'. ∵ D 和 D是BC 和BC的中点， ∴ = = . A B C A' B' C' D D' ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴＝＝=k， ∴ =. A B C D A' B' C' D' ∴△ABD ∽△A' B' D' . ∴ =. 相似三角形对应中线的比等于相似比. (4)如图， △ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k ，证明：相似三角形周长的比等于相似比． A B C A' B' C' 解：∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k, ∴. A B C A' B' C' ∴＝＝=k， ∴△ABC周长=AB+BC+AC =k+k+k =k(++)， ∴△ A′B′C′周长=++ 相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k ，求证相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2 思考 相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ A B C A' B' C' A B C A' B' C' 解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． ∴ = = . D D' ∴ S△ABC =AD， 相似三角形周长的比等于相似比. S△A′B′C′ =A'D' ， =k2. 知识归纳 1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于________． 3．相似三角形周长的比等于________． 4．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 相似比 相似比 例题与练习 例1　已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′和A′C′的长． ∴AC＝60－20－15＝25(cm)， A′C′＝72－18－24＝30(cm) ． 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴ =， ∴A′B′＝18 cm，同理，BC＝20 cm， 即 = ， 例2　如图，△ABC是一块锐角三角形涂料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点在AB，AC上．该矩形的长QM＝y(mm)，宽MN＝x(mm)，如何用含x的代数式表示y? 解：∵PN∥BC，AD⊥BC， ∴AE⊥PN.易知PN＝QM＝y，DE＝MN＝x. ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC， ∴ = , ∴ = ,即 = . 例3　如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB， AD∥BC，且AD＝ BC，E为AD上一点，AC与BE交于点 F，若AE∶DE＝2∶1，则 ＝____． 课堂小结 1．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的