27.2.1 第3课时 两角分别相等的两个三角形相似-（教学课件）2022春【鸿鹄志·名师测控】九年级下册初三数学（人教版）

人教版·九年级下册 数学 第二十七章　相似 27.2　相似三角形 27.2.1　相似三角形的判定 第3课时　两角分别相等的两个三角形相似 新课导入 1.观察这样的两个三角形相似吗？ 2.如果一个三角形中的两个角与另一个三角形中的两个角对应相等，这样的两个三角形相似吗？ 相似 相似 探究新知 观察两副三角尺,其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。 1 你能证明它们相似吗？ (1)作△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，分 别度量这两个三角形的边长，计算 的值，你有什么发现？由此你能做出一个怎样的猜想？ B A C A＇ B＇ C＇ = = 猜想：△ABC∽△A'B'C' , , (2)在△ABC 与△A'B'C'中，如果满∠B=∠B',∠C=∠C' ， 那么能否判定这两个三角形相似？ A＇ B＇ C＇ B A C 证明：在A'B'上截取A'D=AB，过D作DE∥B'C' 交A'C'于点E，∵DE∥B'C'， ∴△A'DE∽△A'B'C', 又∵∠A=∠A', ∠ B=∠B', DE∥B'C', AB=A'D, ∴∠A'DE=∠B'=∠B, ∴△ABC≌△A'DE, ∴△ABC∽△A'B'C . A＇ B＇ C＇ B A C D E 一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理： ∵ ∠A=∠A' ∴△ ABC ∽ △A′B′C'. 两角分别相等的两个三角形相似. A B C A' B' C' 思考:我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 2 (1)直角三角形三边存在什么关系？ 可以证明 直角三角形三边关系：任意两边长度之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。如果直角三角形两直角边分别为A和B，斜边为C，那么 A²+B²=C² (2)已知两边成比例，如何判定两直角三角形相似？ 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°,∠C'=90°, ，求证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. A B C A' B' C' 分析：要证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 可设法证 = = . 若设 = =k , 则只需证 = k . A B C A' B' C' 证明： 设 = =k , 则AB=kA'B', AC=kA'C'. 由勾股定理，得 = '=. ∴ = = . A B C A' B' C' = = k . A B C A' B' C' ∴ = = . ∴Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 知识归纳 1．两角分别相等的两个三角形相似． 2．两直角三角形相似的判定方法： ①一锐角对应相等； ②两直角边对应成比例； ③斜边和一直角边对应成比例． 3．思考：同学们总结一下，两等腰三角形相似的判定方法有哪些？两等边三角形，两等腰直角三角形相似的判定方法呢？ 两等腰三角形相似的判定方法有： 所有等边三角形都相似，所有等腰直角三角形都相似． ①顶角相等； ②底角相等； ③腰和底对应成比例． 例题与练习 例1　如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长. D A B C E 解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°. 又∵∠C=90°,∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC. ∴ = ∴AD = D A B C E 如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似. 例2　如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.若AB＝6，AD＝5，求AF的长． A B C E D F O 解：如图．连接BD.∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2－AD2＝11. ∵∠2＝∠3，∠2＝∠1，∴∠1＝∠3. ∵∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△DFB∽△DBA， A B C E D F O 1 2 3 ∴AF＝AD－DF＝5－＝. ∴ ∴BD2＝AD·DF， ∴DF＝ ＝ ， 例3　如图，在△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝10 cm，AB＝8 cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长． 解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°， 则有＝，即＝ ， ∴当△ABC∽△ADB时， ∴AD＝6.4 cm； 则有＝，即＝ ， 当△ABC∽△BDA时， ∴AD＝＝4.8(cm)． ∴BD＝6.4 cm， 综上所