第01讲 二次根式的概念和性质（4大考点6种解题方法）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略(沪教版）

第01讲 二次根式的概念和性质（4大考点6种解题方法） ( 考点 考向 ) 1.二次根式 2.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式. 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. ( 考点 精讲 ) 一．二次根式的定义（共2小题） 1．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 　x≤2　． 【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围． 【解答】解：∵是二次根式， ∴10﹣5x≥0， ∴x≤2． 故答案为：x≤2． 【点评】本题考查二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，关键是注意到a≥0这个条件． 2．（2021秋•宝山区校级月考）当x＝　﹣1　时，二次根式有最小值，最小值为 　2　． 【分析】根据算术平方根具有非负性解答即可． 【解答】解：∵＝， ∴当x＝﹣1时，的最小值为2， 故答案为：﹣1；2． 【点评】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根具有非负性是解题的关键． 二．二次根式有意义的条件（共4小题） 3．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≤3　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案． 【解答】解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0， 故x的取值范围是x≤3． 故答案为：x≤3． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 4．（2021秋•宝山区校级月考）使有意义的条件是 　x≤3且x≠1　． 【分析】根据分式有意义可得x﹣1≠0，根据二次根式有意义的条件可得3﹣x≥0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，且3﹣x≥0， 解得：x≤3且x≠1， 故答案为：x≤3且x≠1． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数． 5．（2021秋•普陀区校级月考）若a，b满足b＝﹣3，则平面直角坐标系中P（a，b）在第 　四　象限． 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）可得a的值，进而得出b的值，再根据各个象限的点的坐标特征判断即可． 【解答】解：∵a，b满足b＝﹣3， ∴， 解得a＝2， ∴b＝﹣3， ∴P（a，b）为P（2，3）在第四象限． 故答案为：四． 【点评】本题考查了二次根式的性质以及点的坐标，熟知二次根式有意义的条件为被开方数是非负数是解答本题的关键． 6．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【解答】解：依题意得：x＝，则y＝， 所以＝＝，＝＝2， 所以﹣＝﹣＝﹣＝． 【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 三．二次根式的性质与化简（共8小题） 7．（2021秋•浦东新区期中）计算：． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：原式＝a+2﹣3 ＝a+（2﹣） 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 8．（2021秋•普陀区期末）化简：＝　2a　． 【分析】利用二次根式的性质进行化简． 【解答】解：由题意可得：20a3≥0， ∴a≥0， ∴原式＝2a， 故答案为：2a． 【点评】本题考查二次根式的化简，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），掌握二次根式的性质＝|a|是解题关键． 9．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+ 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c| ＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c） ＝﹣a﹣c+a﹣b+c ＝﹣b 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 10．（2021秋•崇明区校级期末）当a＜﹣2时，化简＝　﹣a﹣2　． 【分析】先判断出a+2＜0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵a＜﹣2， ∴a+2＜0， ∴＝|a+2|＝﹣a﹣2． 故答案为：﹣a﹣2． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据a的取值范围判断出a+2＜0是解题的关键． 11．（2021秋•松江区期末）当1≤a≤2化简：+|a﹣2|＝　1　． 【分析】直接利用a的取值范围，结合二次根式以及绝对值的性质化简得出答案． 【解答】解：∵1≤a≤2，