3.1.2 第2课时 分段函数（学案）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

3.1.2函数的表示法 第2课时 分段函数 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点) 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 1、数形结合 2、数学运算 【自主学习】 分段函数 1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数． 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画． 【小试牛刀】 1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)分段函数的图象不一定是连续的．(　　) 2.下列给出的式子是分段函数的是(　　) ①f(x)＝②f(x)＝ ③f(x)＝④f(x)＝ A．①②　　　B．①④　 C．②④　 D．③④ 【经典例题】 题型一 分段函数求值 点拨：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． （2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． （3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。 例1 已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝，求a. 【跟踪训练】1 已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)若f(x)≥，求x的取值范围； (3)求f(x)的值域． 题型二 分段函数的应用 例2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【跟踪训练】2自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数； (2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？ 【当堂达标】 1.设函数f(x)＝则f[f(3)]＝(　　) A. B．3 C. D. 2. (多选)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝(　　 ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 3.函数y＝x＋的图象是(　　) A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D 4.设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________． 5.已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域． 6.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围． 【课堂小结】 1.分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2.分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集． 3.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象． 【参考答案】 【自主学习】 对应关系 并集 空集 【小试牛刀】 1.(1)×　 (2) √　　 2.B 解析：结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B. 【经典例题】 例1 解：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝. (2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1； 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]； 当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)． 综上，a＝2或a＝±. 【跟踪训练】1 解：　(1)利用描点法，作出f(