1.2.2 全称量词与存在量词-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 (教师独具内容) 课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假． 教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全称量词命题的否定 1．一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立. 2．全称量词命题的否定是存在量词命题． 3．对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∃x∈M，x不具有性质p(x). 知识点二　存在量词命题的否定 1．一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立． 2．存在量词命题的否定是全称量词命题． 3．对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∀x∈M，x不具有性质p(x). 1．对全称量词命题的否定及其特点的理解 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时，既要改变全称量词，又要否定结论． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定． 2．对存在量词命题的否定及其特点的理解 (1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时，既要改变存在量词，又要否定结论． (2)找出存在量词及明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题的否定只是对命题结论的否定．(　　) (2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) (4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“至多有一个”的否定为_________________________________． (2)已知命题p：∀x∈R，x2＋2x＋3>0，则它的否定是__________________. (3)命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)． 答案　(1)至少有两个　(2)∃x∈R，x2＋2x＋3≤0　(3)真 题型一 全称量词命题的否定 例1　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆(能够重合的两个圆叫作等圆)的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． [解]　(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以命题的否定是真命题． (2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知命题的否定是假命题． (3)这一命题的否定形式是“存在一个三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知命题的否定为假命题． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：全称量词命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． [跟踪训练1]　写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)∀x∈R，|x|≥x； (3)∀x∈R＋，<x. 解　(1)命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题． (2)命题的否定为“∃x∈R，|x|<x”，这个命题是假命题． (3)命题的否定为“∃x∈R＋，≥x”，这个命题是真命题. 题型二 存在量词命题的否定 例2　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，使得|x＋1|≤1. [解]　(1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)题中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋1|>