专题3 二次函数的图象与性质 -2022-2023学年九年级全一册初三数学【中考快递】同步检测举一反三（人教版）

281 九年级 全一册 RJ 专题三 二次函数的图象与性质 例题 在平面直角坐标系中,函数y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的图象经过点(1,4). (1)求a 的值; (2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴; (3)求自变量x 在什么范围时,y 随x 的增大而增大. 练习 1.设二次函数y=(ax-2)(x-2a),其中a 是常数. (1)求二次函数的对称轴;(用含a 的式子表示) (2)当 1 a-2≤x≤ 1 a+2 时,y 随x 的增大而减小,求a 的取值范围. 282 九年级 全一册 RJ 2.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2-bx+2a 过点A(-2,0). (1)求抛物线的对称轴; (2)当0≤x≤1时,y 的最小值为4,求抛物线的顶点坐标. 3.已知抛物线y=- 1 2x 2+x. (1)求抛物线的对称轴及抛物线与y 轴的交点坐标; (2)已知该抛物线经过A(3n+4,y1),B(2n-1,y2)两点. ①若n<-5,判断y1 与y2 的大小关系,并说明理由; ②若A,B 两点在抛物线的对称轴的两侧,且y1>y2,直接写出n 的取值范围. 112 九年级 全一册 RJ 专题三 二次函数的图象与性质 例题 解:(1)∵函数y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的图象经过点(1,4), ∴4=-4a.解得a=-1. (2)∵a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. ∴该函数图象的顶点坐标为(1,4),对称轴为直线x=1. (3)∵抛物线的开口向下,对称轴为直线x=1, ∴当x<1时,y 随x 的增大而增大. 练习 1.解:(1)令y=0,得x1= 2 a ,x2=2a. ∴函数图象与x 轴的交点为 2a ,0 ,(2a,0). ∴抛物线的对称轴为直线x= 2 a+2a 2 = 1 a+a. (2)当 1 a-2≤x≤ 1 a+2 时,y 随x 的增大而减小. ∴ a>0, 1 a+2≤ 1 a+a 或 a<0, 1 a-2≥ 1 a+a. 解得a≥2或a≤-2. ∴a的取值范围为a≥2或a≤-2. 2.解:(1)将 点 A(-2,0)代 入 y=ax2-bx+2a,得 4a+ 2b+2a=0. ∴b=-3a. ∴抛物线的对称轴为直线x=- -b 2a= -3a 2a =- 3 2. (2)当a>0时,∵抛物线的对称轴为直线x=- 3 2 , ∴当0≤x≤1时,y 随x 的增大而增大. ∵y 的最小值为4,∴抛物线经过点(0,4). ∴2a=4.解得a=2. ∴b=-3a=-6. ∴y=2x2+6x+4. 当x=- 3 2 时,y=2× 9 4+6× - 3 2 +4=-12. ∴抛物线顶点坐标为 - 3 2 ,- 1 2 . 当a<0时,∵抛物线的对称轴为直线x=- 3 2 , ∴当0≤x≤1时,y 随x 的增大而减小. ∵y 的最小值为4,∴抛物线经过点(1,4). ∴a-b+2a=4,即a+3a+2a=4. 解得a= 2 3>0 (舍去). 综上所述,抛物线的顶点坐标为 - 3 2 ,- 1 2 . 3.解:(1)∵y=- 1 2x 2+x, ∴对称轴为直线x=- b 2a=- 1 2× - 1 2 =1. 令x=0,则y=0. ∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,0). (2)xA-xB=(3n+4)-(2n-1)=n+5, xA-1=(3n+4)-1=3n+3=3(n+1), xB-1=(2n-1)-1=2n-2=2(n-1). ①当n<-5时,xA-1<0,xB-1<0,xA-xB<0. ∴A,B 两点都在抛物线的对称轴的左侧,且xA<xB. ∵抛物线y=- 1 2x 2+x 的开口向下, ∴在抛物线的对称轴的左侧时,y 随x 的增大而增大. ∴y1<y2. ②n的取值范围是-1<n<- 1 5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋