专题1.4 空间向量的应用（4类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4 空间向量的应用 【考点1：空间中直线、平面的平行关系】 1 【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】 5 【考点3：空间中的距离】 7 【考点4：空间中的角】 12 【考点1：空间中直线、平面的平行关系】 【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的平行关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ③设分别是直线与的法向量，则，使得. 1．（2021秋•合肥期末）平面α的法向量，平面β的法向量，已知α∥β，则x+y＝（　　） A． B． C．3 D． 【分析】根据题意，由于α∥β，则有∥，由此分析可得x、y的值，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，α∥β，则有∥， 则有，解可得x＝4，y， 则x+y； 故选：A． 2．（2021秋•兴庆区校级期末）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（　　） A．（1，0，0），（﹣2，0，0） B．（1，3，5），（1，0，1） C．（0，2，1），（﹣1，0，﹣1） D．（1，﹣1，3），（0，3，1） 【分析】由题意l∥α，则•0，分别计算A、B、C、D中•的值，判断正确选项． 【解答】解：若l∥α，则•0． 而A中•2， B中•1+5＝6， C中•1，只有D选项中•3+3＝0． 故选：D． 3．（2021秋•邵东市校级月考）直线l的方向向量（﹣1，1，1），平面π的法向量为（2，x2+x，﹣x），若直线l∥平面π，则实数x的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．± 【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即可求出实数x的值． 【解答】解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量， ∵直线l的方向向量（﹣1，1，1），平面π的法向量为（2，x2+x，﹣x），直线l∥平面π， ∴x2﹣2＝0，解得x＝±． 故选：D． 4．（2022春•西区校级期中）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝　4　． 【分析】根据空间面面平行的判定与性质，可得两个平行平面的法向量互相平行，由此建立关于k的等式，解之即可得到实数k的值． 【解答】解：∵α∥β ∴平面α、β的法向量互相平行， 由此可得（1，2，﹣2），（﹣2，﹣4，k），∥ ∴，解之得k＝4． 故答案为：4 5．（2021秋•黄陵县校级期末）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD． 【分析】证法一：正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，进而得到平面AMN∥平面EFBD． 证法二：求出平面AMN的法向量和平面EFBD的法向量，根据两个法向量平行，可得平面AMN∥平面EFBD． 【解答】（本小题满分13分） 证法一：正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（4，0，0），M（2，0，4）， N（4，2，4），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4）． 取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O（2，2，0），K（3，1，4），G（1，3，4）． （2，2，0），（2，2，0），（﹣1，1，4），（﹣1，1，4）， ∴∥，， ∴MN∥EF，AK∥OG， ∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD， ∴平面AMN∥平面EFBD． 证法二：设平面AMN的法向量是（a1，a2，a3），平面EFBD的法向量是（b1，b2，b3）． 由， 得取a3＝1，得（2，﹣2，1）． 由， 得取b3＝1，得（2，﹣2，1）． ∵∥， ∴平面AMN∥平面EFBD． 6．（2021秋•西城区期中）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4． （1）求证：AC⊥BC1； （2）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积为0，证明向量垂直； （2）假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，则利用AC1∥平面CDB1，存在实数m，n，使mn成立，即可求得结论． 【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）． ∵（﹣3，0，0），（0，﹣4，4），∴•0，即⊥， ∴AC⊥BC1． （2）解：假设在AB上存