2.2.1&2.2.2 直线的点斜式方程、直线的两点式方程(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

2.2.1&2.2.2 直线的点斜式方程、直线的两点式方程 一、直线的点斜式方程 1、定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2、两种特殊的直线： （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 二、直线的斜截式方程 1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。 （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 三、直线的两点式方程 1、定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 四、直线的截距式方程 1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 2、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； （2）纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 3、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用。 五、线段中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为， 则. 题型一 直线的点斜式方程 【例1】经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点且斜率为2， 所以直线的方程为，即，故选：． 【变式1-1】经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线倾斜角为，故直线斜率为. 故直线方程为：， 整理可得：.故选：. 【变式1-2】已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：， 则， 故CD所在的直线方程为， 即.故选：D. 【变式1-3】过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的斜率为1， 所以的倾斜角为45°， 所以所求直线的倾斜角为90°， 所以所求直线的方程为．故选：B. 【变式1-4】斜率为，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵直线在x轴上的截距为2， ∴直线经过点(2，0)， 又∵直线的斜率为-2， 由直线的点斜式方程得直线的方程为， 即，故选：C. 题型二 直线的斜截式方程 【例2】求斜率为2，在y轴上的截距为5的直线的方程. 【答案】y＝2x＋5 【解析】因为直线斜率为2，在y轴上的截距为5， 由直线的斜截式方程可知所求直线的方程为y＝2x＋5. 【变式2-1】倾斜角为，在y轴上的截距为的直线方程是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据直线的倾斜角为135° 可知斜率为-1，且知纵截距为-1 所以直线的方程为：，故选：D 【变式2-2】直线 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】即 ，所以斜率为 ， 设直线的倾斜角为，则 又，所以 ，即 ．故选：D. 【变式2-3】下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①当a>0时，