2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（教案）-2022-2023学年高一数学教材配套教案（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 · 考纲要求 1． 会从实际情景中抽象出一元二次不等式． 2． 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． 3． 了解简单的分式、绝对值不等式的解法． · 知识解读 知识点①二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式＝b2－4ac >0 ＝0 <0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 知识点②分式不等式与绝对值不等式 1．>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)； 2．≥0(≤0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)0． 3．|x|>a(a>0)的解集为，|x|<a(a>0)的解集为． 知识点③求解一元二次不等式的三个步骤 1．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0得到根； 2．结合二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象； 3．写出一元二次不等式的解集． 知识点④与一元二次不等式有关的恒成立问题 1．二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的条件是 2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R的条件是 知识点⑤解含参数的一元二次不等式的步骤 1．若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； 2．判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系； 3．确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解． · 题型讲解 题型一、解一元二次不等式 例1．解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－x2＋3x－5>0． 例2．要使有意义，则x的取值范围为________． 题型二、解含参不等式 例3．已知ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集． 例4．解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 例5．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R) 题型三、利用不等式的解求参数问题 例6．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________. 例7．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A． B． C． D． 例8．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4} 题型四、一元二次不等式恒成立问题 例9．一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 例10．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 例11．(2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1,3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 题型五、一元二次不等式实际应用 例12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________． 例13．用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？ · 达标训练 1．不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　) A．{x|－1<x<3}　　　　　 B．{x|x>3或x<－1} C．{x|－3<x<1} D．{x|x>1或x<－3} 2．关于x的不等式x2＋2mx－15m2＜0(m＜0)的解集区间为(a，b)，且b－a＝18，则m＝(　　) A．－2 B． －1 C．－ D．－ 3．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x2－2(m＋1)x＋m<0}，若AB，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1, 0) C．[－1,0) D．(－∞，0) 4．(2022·南通模拟)不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为，则m的取值范围是(　　) A．m<－1 B．m≥ C．m≤－ D．m≥或m≤－ 5．已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤4}