2.2 基本不等式（教案）-2022-2023学年高一数学教材配套教案（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 · 考纲要求 1．了解基本不等式的推导过程． 2．会用基本不等式解决简单的最值问题． 3．理解基本不等式在实际问题中的应用． 4．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值． · 知识解读 知识点①基本不等式 1．基本不等式：≤ 2．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 3．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． 4．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点②几个重要的不等式 1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 2．＋≥2(a，b同号)． 3．ab≤(a，b∈R)． 4．≥ (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点③利用基本不等式求最值 1．已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. 2．已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． · 题型讲解 题型一、基本不等式的理解 例1．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4　　　　　 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 例2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞＞　　 B．a＞＞＞b C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b 题型二、基本不等式求最值 方法1．直接运用 例3．已知x<0，则x＋－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 例4．已知，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 例5．已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 方法2．配凑法 例6．若x<，则y＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 例7．(2022·长沙模拟)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为(　　) A． B．4 C． D．9 例8．3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 方法3．分离（分式型） 例9．(2022·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为________． 例10．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为_________. 方法4．常数代换（1代换） 例11．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　) A．最大值64 B．最小值 C．最小值 D．最小值64 例12．(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C． D． 方法5．消元法 例13．(2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____． 例14．若实数满足，则的最小值为________． 例15．(2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________． 方法6．平方 例16．已知为正实数，，求的最大值． 方法7．构建目标不等式 例17．已知正实数满足，则的最小值是________． 例18．已知正实数满足，则的最小值为_______________． 题型三、基本不等式的实际应用 例19．某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm2. 例20．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的15