1.3空间向量及其运算的坐标表示（导学案）【新教材精创】 2022-2023学年高二上学期数学同步备课 (人教A版2019选择性必修第一册)

《1.3空间向量及其运算的坐标表示》 导学案 参考答案 新课导学 （一）新知导入 （二）空间向量及其运算的坐标表示 知识点1 空间直角坐标系 【思考】　在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样我们就建立了空间直角坐标系． ◆　(1)空间直角坐标系的定义：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O­xyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)画法：画空间直角坐标系O­xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标轴为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． (4)空间点的坐标表示：在空间直角坐标系O­xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． (5)空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O­xyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a＝(x，y，z)． 【探究1】xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0，y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0，z)． 【探究2】相同。 【做一做1】【答案】(3,2,-1) 知识点2 空间向量及其运算的坐标表示 【复习回顾】+=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；= //=0；⊥=0 cos =（） 　　 ◆若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)． (2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)． (3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)． (4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. （5）若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)． （6）若a⊥b，则有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. （7）|a|＝＝ . （8）cosa，b＝＝. 【思考1】空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致． 【思考2】不一定正确，因为b1，b2，b3可能为0，只有b1≠0，b2≠0，b3≠0时才有＝＝成立． 【做一做1】【答案】D 【解析】易验证A，B，C均不正确．由|a|＝＝6，可知D正确． 【做一做2】【答案】B 【解析】，，即，解得：.故选：B 【做一做3】【答案】4 【解析】∵a∥b，∴b＝λa. ∴∴∴x－y＝4. 知识点3 空间两点之间的距离公式 【探究】　＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． ||＝.　　　 　 ◆ 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)||＝. 【做一做】【答案】B 【解析】因为，，所以， 则，当时，的最小值是，故选：B （三）典型例题 【例1】　【解析】　(1)点B在y轴上，且CB＝1，所以＝0i＋j＋0k，所以点B的坐标是(0,1,0)．同理，点C1的坐标为(0,0,2)． 点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为C，B，C1，它们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2，所以点B1的坐标是(0,1,2)． 同理，点M的坐标为(，，2)，点N的坐标为(1,0,1)． (2)＝－＝＋－＝i－j＋k＝(1，－1，1)， ＝－＝－＋＝i－j＋2k＝(1，－1,2)． ＝－＝(－1,1，－2)． 【巩固练习1】【解析】(1)设x轴，y轴，z轴的单位向量分别为i，j，k. 因为正方体的棱长为2，所以＝2i，＝2j，＝2k.因为D(0,0,0)，所以A(2,0,0)，C(0,